Matura czerwiec 2019 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

O arkuszu - Matura czerwiec 2019

Matura z matematyki z sesji dodatkowej (czerwiec) 2019 to arkusz, który omija większość uczniów podczas powtórek - i to błąd. Sesja dodatkowa ma porównywalny poziom trudności do sesji głównej z maja, a ponieważ mniej osób go zna, możesz na nim naprawdę uczciwie sprawdzić swoje umiejętności. Żadnych "przypadkowych" rozwiązań, bo kiedyś widziałeś to zadanie na YouTube.

Arkusz składał się z 34 zadań: 25 zamkniętych (po 1 punkcie) i 9 otwartych (za 2-5 punktów), łącznie 50 punktów. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów. Dominowały zadania z geometrii analitycznej, stereometrii oraz równań i nierówności - szczególnie te ostatnie pojawiały się zarówno w części zamkniętej, jak i otwartej.

Jeśli chcesz porównać poziom z sesją główną, zerknij na rozwiązania matury majowej 2019. Razem oba arkusze z 2019 roku dają ci solidną bazę do ćwiczeń - 68 zadań z jednego rocznika, a CKE rzadko powtarza schematy między sesjami.

Rozkład kategorii w arkuszu

Kilka rzeczy rzuca się w oczy. Stereometria - aż 4 zadania za 8 punktów, w tym jedno za 5 punktów (najtrudniejsze w arkuszu). Jeśli nie czujesz się pewnie z bryłami, koniecznie przeczytaj przewodnik po stereometrii. Geometria analityczna też mocno reprezentowana - 4 zadania, głównie w części zamkniętej. Powtórz prostą, okrąg i wektory. Z kolei równania i nierówności to 3 zadania za 5 punktów - w tym ciekawe zadanie otwarte z nierównością iloczynową i dowód z nierównością między średnimi.

Warto zauważyć, że planimetria pojawia się tu tylko raz (1 punkt). To nietypowe - na maturze majowej 2019 planimetrii było znacznie więcej. Sesja dodatkowa przesunęła ciężar w stronę stereometrii i algebry.

Poziom trudności

Łatwe (ok. 17 punktów) - podstawowe działania na potęgach, proste równania, odczytywanie z wykresu, procenty, prawdopodobieństwo klasyczne. Jeśli masz z nimi kłopot, zacznij od potęg i pierwiastków i funkcji liniowej. Te punkty są absolutnym fundamentem - musisz je zdobyć bezbłędnie.

Średnie (ok. 19 punktów) - geometria analityczna (proste równoległe, odległość punktu od prostej), ciągi, trygonometria, stereometria zamknięta, zadania otwarte za 2 punkty (nierówność, prawdopodobieństwo). Tu decyduje się, czy zdajesz z wynikiem 50% czy 70%. Przeczytaj jak rozwiązywać zadania otwarte - tok rozumowania jest ważniejszy niż wynik.

Trudne (ok. 14 punktów) - wyrażenia algebraiczne za 4 punkty, stereometria za 5 punktów (ostrosłup z prostokątem w podstawie), dowód nierówności. Te zadania odróżniają wynik 70% od 90%+. Nawet jeśli nie rozwiążesz ich w całości, walcz o punkty cząstkowe - sam rysunek i oznaczenia w stereometrii to już punkt.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 2 - Logarytmy (1 pkt) ↗

Treść: Liczba $\frac{\log_327}{\log_3\sqrt{27}}$ jest równa

Rozwiązanie:

Zaczynamy od obliczenia obu logarytmów osobno. To kluczowe - nie próbuj dzielić logarytmów "na skróty", bo łatwo popełnić błąd.

Licznik: $\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$

Mianownik: $\log_3 \sqrt{27} = \log_3 27^{1/2} = \frac{1}{2} \cdot \log_3 27 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$

Dzielimy:

$$\frac{\log_3 27}{\log_3 \sqrt{27}} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$$

Odpowiedź: $2$

Najczęstszy błąd w tym zadaniu to zapisanie $\log_3 \sqrt{27} = \frac{3}{2}$ jako wyniku końcowego, bo uczeń zapomina o podzieleniu. Drugie ryzyko - ktoś próbuje stosować wzór na iloraz logarytmów (którego nie ma!) zamiast policzyć osobno. Pamiętaj: nie istnieje wzór $\frac{\log a}{\log b} = \log \frac{a}{b}$. Więcej o logarytmach na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 11 - Wyrażenia algebraiczne (1 pkt) ↗

Treść: Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $(3x-2)^2 - (2x-3)(2x+3)$ jest po uproszczeniu równe

Rozwiązanie:

Rozbijamy na dwa składniki i stosujemy wzory skróconego mnożenia.

Pierwszy składnik - kwadrat dwumianu:

$$(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$$

Drugi składnik - różnica kwadratów:

$$(2x-3)(2x+3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$$

Odejmujemy:

$$9x^2 - 12x + 4 - (4x^2 - 9) = 9x^2 - 12x + 4 - 4x^2 + 9 = 5x^2 - 12x + 13$$

Odpowiedź: $5x^2 - 12x + 13$

Zwróć uwagę na minus przed nawiasem w drugim składniku. Największy błąd to zapisanie $-4x^2 - 9$ zamiast $-4x^2 + 9$. Minus zmienia znaki WSZYSTKICH wyrazów w nawiasie - i CKE doskonale wie, że uczniowie tu się mylą. Dlatego ten typ zadania pojawia się regularnie. Ćwicz wyrażenia algebraiczne, aż będziesz je upraszczać automatycznie.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 19 - Stereometria (1 pkt) ↗

Treść: Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 96 cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

Rozwiązanie:

Sześcian ma 12 krawędzi (4 na górze, 4 na dole, 4 pionowe). Oznaczmy długość krawędzi jako $a$.

$$12a = 96 \implies a = 8 \text{ cm}$$

Sześcian ma 6 jednakowych ścian kwadratowych, każda o polu $a^2$:

$$P = 6a^2 = 6 \cdot 64 = 384 \text{ cm}^2$$

Odpowiedź: $384 \text{ cm}^2$

Proste zadanie, ale uczniowie tracą tu punkty z dwóch powodów: (1) mylą liczbę krawędzi sześcianu (12, nie 8 ani 6), (2) zapominają, że sześcian ma 6 ścian, nie 4. Jeśli nie jesteś pewien, narysuj sześcian i policz - lepsza minuta na rysunek niż stracony punkt. Więcej o bryłach w przewodniku po stereometrii.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 25 - Prawdopodobieństwo (1 pkt) ↗

Treść: Ze zbioru $\{20, 21, 22, \ldots, 40\}$ losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 7 jest równe

Rozwiązanie:

Najpierw ustalamy, ile elementów ma zbiór. Od 20 do 40 włącznie to:

$$|\Omega| = 40 - 20 + 1 = 21 \text{ elementów}$$

Szukamy liczb podzielnych przez 7 w przedziale [20, 40]:

Trzy liczby sprzyjające, więc:

$$P = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{7}$

Najczęstszy błąd: policzenie elementów zbioru jako $40 - 20 = 20$ zamiast $40 - 20 + 1 = 21$. Ten "błąd o jedynkę" (off-by-one) to klasyka - pamiętaj, że przy zliczaniu od $a$ do $b$ włącznie, wynik to $b - a + 1$. Przeczytaj więcej o prawdopodobieństwie na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 26 - Nierówność iloczynowa (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż nierówność $x(7x + 2) > 7x + 2$

Rozwiązanie:

Krok 1 - Przenosimy prawą stronę na lewą:

$$x(7x + 2) - (7x + 2) > 0$$

Krok 2 - Wyciągamy wspólny czynnik $(7x + 2)$:

$$(7x + 2)(x - 1) > 0$$

Krok 3 - Wyznaczamy miejsca zerowe:

$7x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{7}$

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

Krok 4 - Tabelka znaków lub analiza na osi:

Iloczyn dwóch czynników jest dodatni, gdy oba mają ten sam znak.

Dla $x < -\frac{2}{7}$: oba czynniki ujemne, iloczyn dodatni - spełnione.

Dla $-\frac{2}{7} < x < 1$: pierwszy czynnik dodatni, drugi ujemny, iloczyn ujemny - nie spełnione.

Dla $x > 1$: oba czynniki dodatnie, iloczyn dodatni - spełnione.

Odpowiedź: $x \in \left(-\infty, -\frac{2}{7}\right) \cup (1, +\infty)$

Kluczowy moment to krok 2 - zobaczenie, że $(7x + 2)$ jest wspólnym czynnikiem. Wielu uczniów rozwija lewą stronę do $7x^2 + 2x > 7x + 2$ i próbuje rozwiązywać równanie kwadratowe. To też zadziała, ale jest wolniejsze i łatwiej o błąd rachunkowy. Na maturze szukaj faktoryzacji - oszczędza czas i zmniejsza ryzyko pomyłki.

Schemat oceniania CKE przyznaje: 1 punkt za doprowadzenie do postaci iloczynowej, 1 punkt za poprawne rozwiązanie z odpowiedzią. Nawet jeśli popełnisz błąd w tabelce znaków, punkt za faktoryzację masz pewny. Więcej o równaniach i nierównościach na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 29 - Dowód nierówności (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Wykaż, że dla $a > 0$ i $b > 0$ zachodzi nierówność $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}$

Rozwiązanie:

Krok 1 - Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$$

Nierówność przyjmuje postać:

$$\frac{a + b}{ab} \geq \frac{4}{a + b}$$

Krok 2 - Mnożymy obie strony przez $ab(a+b)$:

Ponieważ $a > 0$ i $b > 0$, to $ab > 0$ i $a + b > 0$, więc $ab(a+b) > 0$. Mnożenie nie zmienia znaku nierówności.

$$(a + b)^2 \geq 4ab$$

Krok 3 - Przekształcamy:

$$a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$$ $$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$$ $$(a - b)^2 \geq 0$$

Ta nierówność jest zawsze prawdziwa, bo kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Równość zachodzi dla $a = b$.

Zatem $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}$ dla wszystkich $a, b > 0$. $\square$

To klasyczny schemat dowodu "od tezy do oczywistości" - zaczynasz od nierówności do wykazania i przekształcasz ją równoważnie, aż dojdziesz do czegoś oczywiście prawdziwego. Ważne: musisz zaznaczyć, że mnożenie przez $ab(a+b)$ nie zmienia znaku nierówności (bo wyrażenie jest dodatnie). Bez tego uzasadnienia CKE może odjąć punkt.

Wskazówka: Gdy widzisz $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ z warunkiem $a, b > 0$, myśl o nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną. Ten schemat powtarza się co kilka lat na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 31 - Prawdopodobieństwo z kostką (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Rzucamy trzykrotnie symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych oczek będzie liczbą nieparzystą.

Rozwiązanie:

Przestrzeń zdarzeń: Każdy rzut ma 6 wyników, trzy rzuty dają:

$$|\Omega| = 6^3 = 216$$

Kiedy iloczyn jest nieparzysty? Iloczyn jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy KAŻDY z czynników jest nieparzysty. Wystarczy, że jeden czynnik będzie parzysty, i cały iloczyn staje się parzysty.

Na kostce są 3 liczby nieparzyste: 1, 3, 5.

W każdym rzucie prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby nieparzystej wynosi $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Rzuty są niezależne, więc:

$$P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$

Alternatywnie: zdarzeń sprzyjających jest $3^3 = 27$ (każdy rzut daje jedną z trzech nieparzystych liczb):

$$P = \frac{27}{216} = \frac{1}{8}$$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{8}$

Kluczowa obserwacja to zrozumienie, kiedy iloczyn jest nieparzysty - WSZYSTKIE czynniki muszą być nieparzyste. To schemat, który CKE uwielbia. Odwrotne podejście (1 minus prawdopodobieństwo, że iloczyn jest parzysty) jest dużo trudniejsze, bo trzeba by rozpatrywać wiele przypadków. Zawsze szukaj prostszej drogi. Więcej ćwiczeń z prawdopodobieństwa.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 32 - Ostrosłup z prostokątem w podstawie (otwarte, 5 pkt) ↗

Treść: Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest prostokąt $ABCD$ o polu 432. Stosunek boków prostokąta wynosi 3:4. Krawędzie boczne ostrosłupa mają równe długości. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę 60°.

Rozwiązanie:

Krok 1 - Wymiary prostokąta.

Boki prostokąta mają stosunek 3:4, więc oznaczamy je $3k$ i $4k$.

$$P = 3k \cdot 4k = 12k^2 = 432$$ $$k^2 = 36 \implies k = 6$$

Boki prostokąta: $a = 18$, $b = 24$.

Krok 2 - Rzut wierzchołka na podstawę.

Ponieważ wszystkie krawędzie boczne mają równe długości, wierzchołek $S$ rzutuje się na środek prostokąta (punkt przecięcia przekątnych). Oznaczmy ten rzut jako $O$.

Krok 3 - Przekątna prostokąta.

$$d = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$$

Odległość od środka prostokąta do wierzchołka: $|OA| = \frac{d}{2} = 15$.

Krok 4 - Wysokość ostrosłupa.

Kąt nachylenia krawędzi bocznej $SA$ do podstawy to kąt $\angle SAO = 60°$.

W trójkącie prostokątnym $SOA$:

$$\tg 60° = \frac{|SO|}{|OA|} = \frac{h}{15}$$ $$h = 15 \cdot \tg 60° = 15\sqrt{3}$$

Krok 5 - Objętość ostrosłupa:

$$V = \frac{1}{3} \cdot P \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 432 \cdot 15\sqrt{3} = \frac{6480\sqrt{3}}{3} = 2160\sqrt{3}$$

Odpowiedź: $V = 2160\sqrt{3}$

To najtrudniejsze zadanie w arkuszu - za 5 punktów. Schemat oceniania CKE przyznaje punkty osobno za: (1) wyznaczenie boków prostokąta, (2) znalezienie rzutu wierzchołka, (3) obliczenie przekątnej, (4) wyznaczenie wysokości z trygonometrii, (5) obliczenie objętości. Nawet jeśli utkniesz na kroku 4, masz szansę na 3 punkty cząstkowe za poprawne wykonanie pierwszych trzech kroków.

Kluczowa pułapka: Wiele osób myli kąt nachylenia krawędzi bocznej z kątem nachylenia ściany bocznej. Krawędź boczna to odcinek $SA$, ściana boczna to trójkąt. Kąt nachylenia krawędzi to kąt między tą krawędzią a jej rzutem na podstawę - tu $\angle SAO$. Czytaj treść zadania uważnie!

Przeczytaj stereometrię na maturze, żeby przećwiczyć ostrosłupy z różnymi podstawami. Porównaj z zadaniami ze stereometrii w maturze majowej 2019.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je przećwiczyć:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-5 pkt):

Kluczowe wnioski z matury czerwiec 2019

Po analizie całego arkusza, oto najważniejsze obserwacje:

1. Stereometria to koło zamachowe punktów. 8 punktów z samej stereometrii - to więcej niż z jakiejkolwiek innej kategorii. Jeśli umiesz liczyć objętości i pola brył, masz ogromną przewagę. Przećwicz zadania ze stereometrii - szczególnie ostrosłupy z różnymi podstawami.

2. Wzory skróconego mnożenia musisz znać na pamięć. Zadanie 11 (wyrażenia algebraiczne) to czysta mechanika - kwadrat dwumianu i różnica kwadratów. Takie zadanie pojawia się na każdej maturze. Jeśli tracisz tu czas, to czas, którego brakuje ci na trudniejsze zadania.

3. Faktoryzacja ratuje życie w nierównościach. Zadanie 26 to idealny przykład - wyciągnięcie wspólnego czynnika zamiast rozwijania daje prostszą i szybszą drogę do odpowiedzi. Ćwicz rozpoznawanie wspólnych czynników.

4. Dowody nierówności mają stały schemat. Zadanie 29 to klasyka - sprowadzenie do $(a-b)^2 \geq 0$. Ten sam schemat pojawił się na maturach 2017, 2020 i 2023. Naucz się go raz, a dostaniesz 2 punkty za darmo.

5. Sesja dodatkowa stawia na geometrię kosztem algebry. W porównaniu z maturą majową 2019, czerwcowy arkusz ma więcej stereometrii i geometrii analitycznej, a mniej ciągów i funkcji. To wskazówka - jeśli ćwiczysz oba arkusze, trenujesz szerszy zakres materiału.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Etap 1 - Diagnoza (1,5h). Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminacyjnych: 170 minut, bez kalkulatora, bez notatek. Zapisuj wszystko na kartce. Po skończeniu sprawdź odpowiedzi - nie wyniki, a tok rozumowania.

Etap 2 - Analiza błędów (30 min). Podziel swoje błędy na trzy grupy:

Etap 3 - Powtórka celowana (2-3h). Na podstawie diagnozy wybierz 2-3 kategorie i przećwicz po 10-15 zadań z każdej na Sprawnej Maturze. Zacznij od zadań z potęg, równań i stereometrii - te trzy kategorie dają łącznie 16 punktów w tym arkuszu.

Etap 4 - Kolejny arkusz. Po tygodniu rozwiąż maturę majową 2019 i porównaj wyniki. Jeśli zrobiłeś postęp w kategoriach, które ćwiczyłeś - jesteś na dobrej drodze.

Szukasz więcej arkuszy do ćwiczeń? Sprawdź kompletną bazę arkuszy maturalnych 2010-2025 lub wypróbuj losowe zadanie, żeby trenować w trybie egzaminacyjnym. Na Sprawnej Maturze mamy ponad 2400 zadań z prawdziwych arkuszy CKE - wystarczy na tygodnie intensywnych ćwiczeń.