Matura czerwiec 2019 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Rozwiązanie:

Zaczynamy od obliczenia obu logarytmów osobno. To kluczowe - nie próbuj dzielić logarytmów "na skróty", bo łatwo popełnić błąd.

Licznik: $\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$

Mianownik: $\log_3 \sqrt{27} = \log_3 27^{1/2} = \frac{1}{2} \cdot \log_3 27 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$

Dzielimy:

Najczęstszy błąd w tym zadaniu to zapisanie $\log_3 \sqrt{27} = \frac{3}{2}$ jako wyniku końcowego, bo uczeń zapomina o podzieleniu. Drugie ryzyko - ktoś próbuje stosować wzór na iloraz logarytmów (którego nie ma!) zamiast policzyć osobno. Pamiętaj: nie istnieje wzór $\frac{\log a}{\log b} = \log \frac{a}{b}$. Więcej o logarytmach na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Rozbijamy na dwa składniki i stosujemy wzory skróconego mnożenia.

Pierwszy składnik - kwadrat dwumianu:

Drugi składnik - różnica kwadratów:

Odejmujemy:

Zwróć uwagę na minus przed nawiasem w drugim składniku. Największy błąd to zapisanie $-4x^2 - 9$ zamiast $-4x^2 + 9$. Minus zmienia znaki WSZYSTKICH wyrazów w nawiasie - i CKE doskonale wie, że uczniowie tu się mylą. Dlatego ten typ zadania pojawia się regularnie. Ćwicz wyrażenia algebraiczne, aż będziesz je upraszczać automatycznie.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Sześcian ma 12 krawędzi (4 na górze, 4 na dole, 4 pionowe). Oznaczmy długość krawędzi jako $a$.

Sześcian ma 6 jednakowych ścian kwadratowych, każda o polu $a^2$:

Proste zadanie, ale uczniowie tracą tu punkty z dwóch powodów: (1) mylą liczbę krawędzi sześcianu (12, nie 8 ani 6), (2) zapominają, że sześcian ma 6 ścian, nie 4. Jeśli nie jesteś pewien, narysuj sześcian i policz - lepsza minuta na rysunek niż stracony punkt. Więcej o bryłach w przewodniku po stereometrii.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Najpierw liczymy elementy zbioru. Od 20 do 40 włącznie jest:

Liczby podzielne przez 4 w tym zbiorze to:

Jest ich 6, więc $|A| = 6$ i:

Przy zliczaniu liczb od $a$ do $b$ włącznie wynik to $b - a + 1$, a nie $b - a$. Tu łatwo też pominąć jeden z końców zbioru: zarówno 20, jak i 40 są podzielne przez 4. Przeczytaj więcej o prawdopodobieństwie na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Przenosimy prawą stronę na lewą:

   $x(7x + 2) - (7x + 2) > 0$
2. Krok 2

   Wyciągamy wspólny czynnik

   $(7x + 2)$:

   $(7x + 2)(x - 1) > 0$
3. Krok 3

   Wyznaczamy miejsca zerowe:

   $7x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{7}$

   $x - 1 = 0 \implies x = 1$

4. Krok 4

   Tabelka znaków lub analiza na osi:

   Iloczyn dwóch czynników jest dodatni, gdy oba mają ten sam znak.

   Dla $x < -\frac{2}{7}$: oba czynniki ujemne, iloczyn dodatni - spełnione.

   Dla $-\frac{2}{7} < x < 1$: pierwszy czynnik dodatni, drugi ujemny, iloczyn ujemny - nie spełnione.

   Dla $x > 1$: oba czynniki dodatnie, iloczyn dodatni - spełnione.

Kluczowy moment to krok 2 - zobaczenie, że $(7x + 2)$ jest wspólnym czynnikiem. Wielu uczniów rozwija lewą stronę do $7x^2 + 2x > 7x + 2$ i próbuje rozwiązywać równanie kwadratowe. To też zadziała, ale jest wolniejsze i łatwiej o błąd rachunkowy. Na maturze szukaj faktoryzacji - oszczędza czas i zmniejsza ryzyko pomyłki.

Schemat oceniania CKE przyznaje: 1 punkt za doprowadzenie do postaci iloczynowej, 1 punkt za poprawne rozwiązanie z odpowiedzią. Nawet jeśli popełnisz błąd w tabelce znaków, punkt za faktoryzację masz pewny. Więcej o równaniach i nierównościach na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika:

   $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$

   Nierówność przyjmuje postać:

   $\frac{a + b}{ab} \geq \frac{4}{a + b}$
2. Krok 2

   Mnożymy obie strony przez $ab(a+b)$:

   Ponieważ $a > 0$ i $b > 0$, to $ab > 0$ i $a + b > 0$, więc $ab(a+b) > 0$. Mnożenie nie zmienia znaku nierówności.

   $(a + b)^2 \geq 4ab$
3. Krok 3

   Przekształcamy:

   $a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$$(a - b)^2 \geq 0$

   Ta nierówność jest zawsze prawdziwa, bo kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Równość zachodzi dla $a = b$.

   Zatem $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}$ dla wszystkich $a, b > 0$. $\square$

   To klasyczny schemat dowodu "od tezy do oczywistości" - zaczynasz od nierówności do wykazania i przekształcasz ją równoważnie, aż dojdziesz do czegoś oczywiście prawdziwego. Ważne: musisz zaznaczyć, że mnożenie przez $ab(a+b)$ nie zmienia znaku nierówności (bo wyrażenie jest dodatnie). Bez tego uzasadnienia CKE może odjąć punkt.

   Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Wszystkie wyniki

   Każdy rzut ma 6 wyników, a kolejność rzutów ma znaczenie:

   $|\Omega| = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$
2. Krok 2

   Wyniki sprzyjające

   Największa możliwa suma to $6 + 6 + 6 = 18$. Żeby dostać 16, trzeba „zabrać” z tych 18 dokładnie 2 oczka. Da się to zrobić na dwa sposoby:
   

   • •jedna kostka pokazuje 4, dwie pokazują 6: $(4,6,6)$, $(6,4,6)$, $(6,6,4)$,
   • •dwie kostki pokazują 5, jedna pokazuje 6: $(5,5,6)$, $(5,6,5)$, $(6,5,5)$.

   Wyników sprzyjających jest więc $|A| = 6$.

3. Krok 3

   Prawdopodobieństwo

   $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$

Najłatwiej zgubić tu kolejność: $(4,6,6)$ i $(6,4,6)$ to różne wyniki, bo czwórka wypada w innym rzucie. Kto wypisze tylko dwa zestawy liczb zamiast sześciu wyników, dostanie $\frac{2}{216}$ zamiast $\frac{6}{216}$. Więcej ćwiczeń z prawdopodobieństwa.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Wymiary prostokąta

   Boki prostokąta mają stosunek 3:4, więc oznaczamy je $3k$ i $4k$.

   $P = 3k \cdot 4k = 12k^2 = 432$$k^2 = 36 \implies k = 6$

   Boki prostokąta: $a = 18$, $b = 24$.

2. Krok 2

   Spodek wysokości

   Z treści wiemy, że wysokość $SO$ pada w punkt $O$, w którym przecinają się przekątne prostokąta. Przekątne prostokąta dzielą się na połowy, więc $|OA|$ to połowa przekątnej.

3. Krok 3

   Przekątna prostokąta

   $d = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$

   Odległość od środka prostokąta do wierzchołka: $|OA| = \frac{d}{2} = 15$.

4. Krok 4

   Wysokość ostrosłupa

   W trójkącie prostokątnym $SOA$ kąt przy wierzchołku $A$ ma $60^\circ$:

   $\operatorname{tg} 60^\circ = \frac{|SO|}{|OA|} = \frac{h}{15}$$h = 15 \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = 15\sqrt{3}$
5. Krok 5

   Objętość ostrosłupa:

   $V = \frac{1}{3} \cdot P \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 432 \cdot 15\sqrt{3} = 144 \cdot 15\sqrt{3} = 2160\sqrt{3}$

To najwyżej punktowane zadanie w arkuszu. Nawet jeśli utkniesz na wysokości, wyznaczenie boków prostokąta i jego przekątnej to już postęp w rozwiązaniu.

Kluczowa pułapka: Kąt $SAO$ to kąt nachylenia krawędzi bocznej $SA$ do podstawy, więc leży w trójkącie z połową przekątnej, a nie z połową boku prostokąta. Kąt nachylenia ściany bocznej to inny kąt i prowadzi do innego trójkąta.

Przeczytaj stereometrię na maturze, żeby przećwiczyć ostrosłupy z różnymi podstawami. Porównaj z zadaniami ze stereometrii w maturze majowej 2019.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze