Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 2 · (-1)^(n+1) + 5 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa A. 3 B. 7 C. 50 D. 100 b) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. 1. Ciąg (a_n) jest malejący. P / F 2. Ciąg (a_n) jest geometryczny. P / F
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) C b) FF
a)
Sprawdźmy, jak zachowa się nasz ciąg dla kilku początkowych wyrazów:
a₁ = 2 · (-1)^(1+1) + 5 = 2 · 1 + 5 = 7
a₂ = 2 · (-1)^(2+1) + 5 = 2 · (-1) + 5 = 3
a₃ = 2 · (-1)^(3+1) + 5 = 2 · 1 + 5 = 7
a₄ = 2 · (-1)^(4+1) + 5 = 2 · (-1) + 5 = 3
Widzimy, że jest to ciąg, który naprzemiennie ma wartości wyrazów równe 7 oraz 3. Suma dziesięciu pierwszych wyrazów tego ciągu będzie więc sumą pięciu wyrazów równych 7 oraz pięciu wyrazów równych 3, zatem:
S₁₀ = 5 · 7 + 5 · 3 = 35 + 15 = 50
b)
Zdanie 1. - Fałsz
Jak już ustaliliśmy, jest to ciąg, który naprzemiennie ma wyrazy równe 7 oraz 3, więc nie jest to ciąg malejący. Zdanie jest fałszem.
Zdanie 2. - Fałsz
Skoro jest to ciąg typu 7, 3, 7, 3, 7, ..., to nie jest to też ciąg geometryczny (w ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów musi być stały, a tutaj 3/7 ≠ 7/3). Zdanie jest fałszem.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.