Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej f, ma z osiami kartezjańskiego układu współzędnych (x, y) dokładnie dwa punkty wspólne: M=(0,18) oraz N=(3,0). Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: f(x)=2(x-3)²
Krok 1. Analiza położenia punktów wspólnych z osiami.
Parabola ma z osiami układu dokładnie dwa punkty wspólne: M = (0, 18) i N = (3, 0). Punkt M leży na osi Oy, a punkt N na osi Ox, zatem z osią Ox parabola ma dokładnie jeden punkt wspólny. Parabola, która ma z osią Ox tylko jeden punkt wspólny, jest do tej osi styczna, a punktem styczności jest jej wierzchołek. Punkt N = (3, 0) jest więc wierzchołkiem tej paraboli.
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Dostrzegając, że punkt N musi być wierzchołkiem paraboli (bo w innym przypadku mielibyśmy więcej punktów wspólnych z osią Ox), możemy przejść do zapisania wzoru funkcji w postaci kanonicznej f(x) = a(x-p)² + q, gdzie p oraz q to współrzędne wierzchołka. Moglibyśmy więc zapisać, że:
f(x) = a(x-3)² + 0
f(x) = a(x-3)²
Krok 3. Obliczenie brakującego współczynnika a.
Do pełnego wzoru brakuje nam znajomości współczynnika a. Aby go poznać, wystarczy do wyznaczonej przed chwilą postaci podstawić współrzędne punktu M = (0, 18), zatem:
18 = a(0-3)²
18 = a · 9
a = 2
To oznacza, że naszą funkcję można opisać wzorem f(x) = 2(x-3)².
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.