Bok kwadratu A B C D ma długość równą 12. Punkt S jest środkiem boku B C tego kwadratu. Na odcinku A S leży punkt P taki, że odcinek B P jest prostopadły do odcinka A S. Oblicz długość odcinka BP. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 12√(5)/5
Krok 1. Obliczenie długości odcinka AS.
Wiemy, że bok kwadratu ma długość 12, więc |AB| = 12, natomiast odcinek BS ma połowę długości boku BC, czyli |BS| = 6. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ABS:
|AS|² = |AB|² + |BS|² = 12² + 6² = 144 + 36 = 180
|AS| = √(180) = 6√(5)
Krok 2. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Trójkąty ABS oraz BPS są podobne (oba prostokątne, z wspólnym kątem przy wierzchołku S). Skala podobieństwa wynosi:
k = |AS|/|BS| = 6√(5)/6 = √(5)
Krok 3. Obliczenie długości odcinka BP.
|BP|/|AB| = |BS|/|AS|
|BP| = |AB| · |BS|/|AS| = 12 · 6/(6√(5)) = 12/√(5) = 12√(5)/5
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.