W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są punkty A=(2,8) oraz B=(10,2). Symetralna odcinka A B przecina oś O x układu współrzędnych w punkcie P. Oblicz współrzędne punktu P oraz długość odcinka A P. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P=(9/4,0), |AP|=5/4√(41)
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka AB.
Środek odcinka AB wyznaczamy ze wzoru:
S = ((x_A + x_B)/2; (y_A + y_B)/2) = ((2+10)/2; (8+2)/2) = (6; 5)
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej AB.
Współczynnik kierunkowy prostej AB:
a = (y_B - y_A)/(x_B - x_A) = (2-8)/(10-2) = -6/8 = -3/4
Podstawiając współrzędne punktu A do y = ax + b:
8 = -3/4 · 2 + b
b = 8 + 3/2 = 19/2
Prosta AB: y = -3/4 x + 19/2.
Krok 3. Wyznaczenie symetralnej odcinka AB.
Symetralna jest prostopadła do AB i przechodzi przez środek S = (6, 5). Współczynnik kierunkowy symetralnej:
a_s = 4/3
bo -3/4 · 4/3 = -1.
Podstawiając S = (6, 5):
5 = 4/3 · 6 + b
5 = 8 + b
b = -3
Symetralna: y = 4/3 x - 3.
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu P.
Punkt P leży na osi Ox, więc y = 0:
0 = 4/3 x - 3
x = 9/4
Zatem P = (9/4, 0).
Krok 5. Obliczenie długości odcinka AP.
|AP| = √((9/4-2)² + (0-8)²) = √((1/4)² + 64) = √(1/16 + 64) = √(1025/16) = √(1025)/4 = 5√(41)/4
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.