W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg O o równaniu (x-1)²+(y+2)²=5 a) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. 1. Do okręgu O należy punkt o współrzędnych (-1, -3). P / F 2. Promień okręgu O jest równy 5. P / F b) Okrąg K jest obrazem okręgu O w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg K jest określony równaniem A. (x-1)²+(y+2)²=5 B. (x+1)²+(y+2)²=5 C. (x-1)²+(y-2)²=5 D. (x+1)²+(y-2)²=5
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) PF b) D
a)
Zdanie 1. - Prawda
Jeśli punkt należy do okręgu, to po podstawieniu jego współrzędnych do równania okręgu otrzymamy tożsamość. Podstawiając x = -1 oraz y = -3:
(-1-1)² + (-3+2)² = (-2)² + (-1)² = 4 + 1 = 5
Otrzymaliśmy 5 = 5, co oznacza, że punkt (-1, -3) należy do okręgu. Zdanie jest prawdą.
Zdanie 2. - Fałsz
Równanie okręgu zapisujemy w postaci (x-a)² + (y-b)² = r², gdzie r to promień okręgu. Z podanego równania odczytujemy r² = 5, więc r = √(5). Promień okręgu wynosi √(5), a nie 5. Zdanie jest fałszem.
b)
Z równania okręgu O odczytujemy, że jego środek to S = (1, -2), a promień r = √(5).
Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych zmienia współrzędne (x, y) na (-x, -y). Zatem środek obrazu okręgu to S' = (-1, 2), a promień pozostaje bez zmian.
Równanie okręgu K to:
(x+1)² + (y-2)² = 5
Odpowiedź: D.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.