Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba 5 n³-5 n jest podzielna przez 30.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEWyłączając wspólny czynnik przed nawias, otrzymamy:
5n³-5n=5n(n²-1)
Teraz powinniśmy dostrzec, że n²-1 da się rozpisać zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia (a²-b²)=(a+b)(a-b), zatem mamy:
5n · (n+1) · (n-1)
Aby lepiej dostrzec pewne kwestie, moglibyśmy jeszcze rozpisać to w taki sposób:
5 · (n-1) · n · (n+1)
n-1, n oraz n+1 to nic innego jak trzy kolejne liczby naturalne, a skoro tak, to jedna z nich musi być liczbą podzielną przez 2, a jedna z nich będzie na pewno podzielna przez 3. Tym samym iloczyn tych liczb będzie podzielny przez 6. To sprawia, że 5 · (n-1) · n · (n+1) będzie liczbą podzielną przez 5 · 6, czyli przez 30, co należało udowodnić.
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.