Matura czerwiec 2024 (sesja dodatkowa) - matematyka, rozwiązania

O arkuszu - Matura czerwiec 2024 (sesja dodatkowa)

Sesja dodatkowa matury z matematyki z czerwca 2024 to egzamin dla osób, które z przyczyn losowych nie mogły przystąpić do matury w maju. Arkusz zawierał 36 zadań: 22 zamknięte i 14 otwartych, za łącznie 46 punktów. Próg zdawalności to 30%, czyli 14 punktów.

Sesje dodatkowe mają zbliżony poziom trudności do sesji majowej, ale często różnią się rozkładem kategorii. Ten arkusz wyróżnia się nietypowo dużą liczbą zadań z geometrii analitycznej (9 zadań!) i ciągów (5 zadań). To arkusz, który powinien przeanalizować każdy maturzysta - pokazuje, że CKE potrafi zaskoczyć nietypowymi proporcjami.

Sprawdź też maturę majową 2024 i maturę próbną CKE z grudnia 2024, żeby zobaczyć pełny obraz egzaminów z tego okresu.

Wszystkie 36 zadań z tego arkusza możesz rozwiązać interaktywnie na Sprawnej Maturze.

Rozkład kategorii w arkuszu

To jeden z najbardziej nietypowych rozkładów w ostatnich latach - geometria analityczna dominuje z 9 zadaniami za 13 punktów. To niemal 30% całego arkusza! Na drugim miejscu tradycyjnie potęgi i pierwiastki (8 zadań za 11 punktów). Ciągi mają aż 5 zadań, choć za niewielką liczbę punktów (głównie zamknięte).

Ten rozkład to ważna lekcja: musisz być gotowy na każdą konfigurację. CKE nie gwarantuje równomiernego podziału kategorii. Przeczytaj nasz przewodnik po geometrii analitycznej - to kategoria, która potrafi zdominować arkusz.

Porównaj z sesją majową 2024, gdzie dominowały potęgi (10 zadań za 14 pkt), a geometria analityczna miała tylko 3 zadania. Jeden miesiąc różnicy, zupełnie inny profil arkusza.

Poziom trudności

Arkusz czerwcowy 2024 był oceniany jako porównywalny z majowym 2024, choć z innym profilem - łatwiejsze zadania otwarte, ale trudniejsze zamknięte z geometrii analitycznej. Kto uczył się głównie z potęg, a zaniedbał geometrię analityczną, mógł mieć problem.

Łatwe (ok. 15 punktów) - potęgi, logarytmy, procenty, funkcja liniowa, proste ciągi. Solidna baza do zdania matury. Jeśli masz problem z tymi zadaniami, zacznij od przewodnika po potęgach.

Średnie (ok. 18 punktów) - geometria analityczna (równanie prostej, odległość, okrąg), ciągi arytmetyczne i geometryczne, nierówności, stereometria. Tu zdobywasz punkty na 50-70%. Przeczytaj przewodnik po ciągach.

Trudne (ok. 13 punktów) - zadania dowodowe z liczbami rzeczywistymi, prawdopodobieństwo warunkowe, optymalizacja z funkcją kwadratową, sumy ciągów geometrycznych. Celuj tu dla wyniku 80%+.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 1 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) ↗

Treść: Wartość wyrażenia $\frac{6^8}{2^8 \cdot 3^7}$ jest równa

Rozwiązanie:

Rozbijamy $6^8$ na iloczyn potęg czynników pierwszych:

$$6^8 = (2 \cdot 3)^8 = 2^8 \cdot 3^8$$

Wstawiamy do ułamka:

$$\frac{2^8 \cdot 3^8}{2^8 \cdot 3^7} = \frac{3^8}{3^7} = 3^{8-7} = 3^1 = 3$$

Zauważ, że $2^8$ skraca się całkowicie, a z potęg trójki zostaje $3^1$.

Odpowiedź: $3$

Typowy schemat - rozbij liczbę złożoną na iloczyn potęg czynników pierwszych, a potem skracaj. Analogiczne zadanie pojawiło się na maturze sierpniowej 2025. Ten typ zadania to "darmowy" punkt - opanuj go do perfekcji.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 3 - Liczby rzeczywiste (1 pkt) ↗

Treść: Zbiorem rozwiązań nierówności $|2x - 5| < 3$ jest przedział

Rozwiązanie:

Nierówność z wartością bezwzględną typu $|W| < c$ rozbijamy na podwójną nierówność:

$$-3 < 2x - 5 < 3$$

Dodajemy 5 do każdej części:

$$-3 + 5 < 2x < 3 + 5$$ $$2 < 2x < 8$$

Dzielimy przez 2:

$$1 < x < 4$$

Odpowiedź: $x \in (1, 4)$

Podwójna nierówność $-c < W < c$ jest szybsza niż rozpatrywanie dwóch osobnych przypadków. To tak zwany "typ mniejszy" - wartość bezwzględna mniejsza od stałej daje jeden przedział. "Typ większy" ($|W| > c$) daje dwa przedziały (sumę). Na maturze oba typy pojawiają się regularnie.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 5 - Logarytmy (1 pkt) ↗

Treść: Wartość $\log_2 48 - \log_2 6$ jest równa

Rozwiązanie:

Korzystamy z własności logarytmu ilorazu $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$:

$$\log_2 48 - \log_2 6 = \log_2 \frac{48}{6} = \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$$

Odpowiedź: $3$

Własność ilorazu to jedna z trzech podstawowych własności logarytmów (obok iloczynu i potęgi). Mając te trzy własności i definicję, rozwiążesz każde maturalne zadanie z logarytmów. Przeczytaj przewodnik po logarytmach.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 9 - Ciągi arytmetyczne (1 pkt) ↗

Treść: Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz $a_1 = -7$ i różnicę $r = 3$. Który wyraz tego ciągu jest równy 50?

Rozwiązanie:

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$$

Podstawiamy $a_n = 50$:

$$50 = -7 + (n-1) \cdot 3$$ $$57 = 3(n-1)$$ $$n - 1 = 19$$ $$n = 20$$

Odpowiedź: Wyraz $a_{20}$

Wzór $a_n = a_1 + (n-1)r$ to absolutna podstawa. Na maturze pojawia się co roku - w tym arkuszu aż 5 razy w różnych wariacjach. Przeczytaj przewodnik po ciągach arytmetycznych i geometrycznych.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 15 - Geometria analityczna (1 pkt) ↗

Treść: Prosta $y = 2x - 3$ przecina oś OY w punkcie $A$, a oś OX w punkcie $B$. Pole trójkąta $OAB$ jest równe

Rozwiązanie:

Punkt A (przecięcie z osią OY, czyli $x = 0$):

$$y = 2 \cdot 0 - 3 = -3 \implies A(0, -3)$$

Punkt B (przecięcie z osią OX, czyli $y = 0$):

$$0 = 2x - 3 \implies x = \frac{3}{2} \implies B\left(\frac{3}{2}, 0\right)$$

Trójkąt OAB to trójkąt prostokątny z wierzchołkiem w początku układu współrzędnych $O(0, 0)$. Jego przyprostokątne leżą na osiach:

$$|OA| = 3 \quad \text{(odległość A od O na osi OY)}$$ $$|OB| = \frac{3}{2} \quad \text{(odległość B od O na osi OX)}$$

Pole:

$$P = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OB| = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$$

Odpowiedź: $P = \frac{9}{4}$

To klasyk geometrii analitycznej - obliczenie pola trójkąta z przecięciami prostej z osiami. Schemat: (1) podstaw $x=0$ dla osi OY, (2) podstaw $y=0$ dla osi OX, (3) policz pole z przyprostokątnych. Więcej na stronie zadań z geometrii analitycznej.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 22 - Prawdopodobieństwo (1 pkt) ↗

Treść: W urnie jest 6 kul: 2 czerwone, 3 niebieskie i 1 zielona. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo, że wylosowana kula nie jest czerwona, wynosi

Rozwiązanie:

Kule nieczerwone: $3 \text{ (niebieskie)} + 1 \text{ (zielona)} = 4$

$$P(\text{nie czerwona}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Odpowiedź: $\frac{2}{3}$

Alternatywnie przez zdarzenie przeciwne: $P(\text{nie czerwona}) = 1 - P(\text{czerwona}) = 1 - \frac{2}{6} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Oba podejścia działają, ale zdarzenie przeciwne jest szybsze, gdy mamy wiele kolorów "sprzyjających". Więcej ćwiczeń z prawdopodobieństwa.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 30 - Geometria analityczna, symetralna (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Punkty $A(-2, 1)$ i $B(4, 5)$ są dane. Napisz równanie symetralnej odcinka AB.

Rozwiązanie:

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka, przechodząca przez jego środek. Potrzebujemy dwóch rzeczy: (1) środka odcinka, (2) współczynnika kierunkowego prostopadłej.

Krok 1 - Środek odcinka AB:

$$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (1, 3)$$

Krok 2 - Współczynnik kierunkowy prostej AB:

$$a_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{5-1}{4-(-2)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Krok 3 - Współczynnik kierunkowy symetralnej (prosta prostopadła ma współczynnik będący odwrotnością ze znakiem minus):

$$a_s = -\frac{1}{a_{AB}} = -\frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2}$$

Krok 4 - Równanie symetralnej (przechodzi przez $S(1, 3)$):

$$y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 1)$$ $$y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} + 3 = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} + \frac{6}{2} = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$$

Odpowiedź: $y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$

Schemat symetralnej jest uniwersalny: (1) środek odcinka, (2) współczynnik kierunkowy odcinka, (3) odwrotność ze znakiem minus, (4) równanie prostej przez punkt. Na schemacie oceniania CKE punkt za środek i punkt za równanie. Przeczytaj przewodnik po geometrii analitycznej - symetralna to jedno z najczęstszych zadań otwartych.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 35 - Stereometria (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę o boku 6 i wysokość 4. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat o boku $a = 6$.

Pole podstawy:

$$P_p = a^2 = 6^2 = 36$$

Objętość ostrosłupa:

$$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48$$

Odpowiedź: $V = 48$

Proste zastosowanie wzoru na objętość ostrosłupa. Pamiętaj: $V = \frac{1}{3} P_p \cdot h$ - ta jedna trzecia to najczęstszy błąd na maturze. Uczniowie mylą ją z $\frac{1}{2}$ (pole trójkąta) lub zapominają o niej całkowicie. Przeczytaj przewodnik po stereometrii.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 38 - Ciągi geometryczne, suma (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Ciąg geometryczny ma pierwszy wyraz $a_1 = 4$ i iloraz $q = \frac{1}{2}$. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Rozwiązanie:

Wzór na sumę $n$ wyrazów ciągu geometrycznego (dla $q \neq 1$):

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$

Podstawiamy $a_1 = 4$, $q = \frac{1}{2}$, $n = 10$:

$$S_{10} = 4 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1 - \frac{1}{2}}$$

Obliczamy $\left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024}$ oraz $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$:

$$S_{10} = 4 \cdot \frac{1 - \frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot 2 \cdot \frac{1023}{1024} = 8 \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{8184}{1024} = \frac{1023}{128}$$

Odpowiedź: $S_{10} = \frac{1023}{128}$

Kluczowe to nie pomylić się z $\left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024}$. Na maturze warto policzyć to osobno i sprawdzić ($2^{10} = 1024$ warto znać na pamięć). Zauważ też, że $\frac{1023}{128}$ to prawie 8 - to ma sens, bo suma nieskończonego ciągu geometrycznego z $a_1 = 4$ i $q = \frac{1}{2}$ to $\frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = 8$, a 10 wyrazów to już bardzo blisko granicy. Więcej o ciągach na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 40 - Funkcja kwadratowa, wzory Viete'a (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Funkcja kwadratowa $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ ma dwa miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$. Oblicz $x_1^2 + x_2^2$.

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzorów Viete'a. Dla funkcji $f(x) = ax^2 + bx + c$ miejsca zerowe spełniają:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Dla $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ mamy $a = -1$, $b = 6$, $c = -5$:

$$x_1 + x_2 = -\frac{6}{-1} = 6$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-5}{-1} = 5$$

Stosujemy tożsamość algebraiczną:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 6^2 - 2 \cdot 5 = 36 - 10 = 26$$

Odpowiedź: $x_1^2 + x_2^2 = 26$

Elegancja tego rozwiązania: Nie musisz obliczać samych miejsc zerowych - wystarczą ich suma i iloczyn z wzorów Viete'a. To oszczędza czas i eliminuje ryzyko błędu rachunkowego. Tożsamość $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$ warto znać na pamięć. Przeczytaj przewodnik po funkcji kwadratowej.

Sprawdzenie: Miejsca zerowe to $x_1 = 1$ i $x_2 = 5$ (bo $-(x-1)(x-5) = -x^2 + 6x - 5$). Rzeczywiście $1^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26$ $\checkmark$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 36 zadań z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem. Kliknij w dowolne zadanie:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-5 pkt):

Kluczowe wnioski z sesji dodatkowej 2024

Analiza tego arkusza daje kilka ważnych obserwacji:

1. Geometria analityczna potrafi zdominować arkusz - 9 zadań za 13 punktów. Musisz znać: równanie prostej (kierunkowe i ogólne), odległość punktu od prostej, środek odcinka, symetralną, prostopadłość prostych, równanie okręgu. Ćwicz geometrię analityczną
2. Ciągi pojawiają się masowo - 5 zadań. Wzory na n-ty wyraz i sumę ciągu arytmetycznego i geometrycznego to absolutna konieczność. Ćwicz ciągi
3. Potęgi zawsze w grze - 8 zadań to norma, niezależnie od sesji. Ćwicz potęgi
4. Wzory Viete'a + tożsamości algebraiczne - pojawiły się w eleganckim zadaniu za 2 punkty. Warto znać tożsamość $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$
5. CKE zaskakuje proporcjami - nie ucz się "pod konkretny rozkład", bądź gotowy na wszystko

Porównanie z innymi arkuszami 2024

Wniosek: CKE rotuje dominujące kategorie. Jedyne, co jest pewne: potęgi będą zawsze, reszta się zmienia.

Przygotowujesz się do matury? Rozwiąż cały arkusz interaktywnie na Sprawnej Maturze - mamy 2438 zadań z prawdziwych arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Sprawdź też maturę majową 2024 i wejdź na losowe zadanie, żeby przetestować swoją gotowość. Jeśli chcesz dostęp do pełnych rozwiązań, sprawdź nasz plan premium.