Matura próbna CKE grudzień 2024 - matematyka, rozwiązania arkusza

O arkuszu - Matura próbna CKE grudzień 2024

Matura próbna z matematyki na poziomie podstawowym przygotowana przez CKE i przeprowadzona w grudniu 2024 to jeden z kluczowych arkuszy treningowych dla maturzystów. Arkusz zawierał 33 zadania: 20 zamkniętych i 13 otwartych, za łącznie 50 punktów. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów.

Arkusz grudniowy jest szczególnie ważny, bo to oficjalny materiał CKE - nie próbówka wydawnictwa, ale arkusz przygotowany przez tych samych ludzi, którzy piszą właściwy egzamin. Jeśli szukasz też rozwiązań z kolejnych sesji, sprawdź maturę majową 2025 i sesję dodatkową z czerwca 2025.

Wszystkie 33 zadania z tego arkusza możesz rozwiązać interaktywnie na Sprawnej Maturze.

Rozkład kategorii w arkuszu

Ciekawy rozkład - stereometria ma aż 4 zadania za 8 punktów, co jest nietypowo dużo. To sugeruje, że CKE chciało mocniej przetestować bryły przestrzenne. Na drugim miejscu potęgi i pierwiastki (6 zadań) oraz geometria analityczna (4 zadania za 7 punktów).

Przeczytaj nasze przewodniki po stereometrii i geometrii analitycznej, żeby być przygotowanym na podobny rozkład.

Poziom trudności

Arkusz grudniowy 2024 był umiarkowanie trudny - porównywalny z maturą majową 2024, ale z mocniejszym akcentem na stereometrię. Kto przygotowywał się głównie z potęg i równań, mógł mieć problem z aż 4 zadaniami przestrzennymi.

Łatwe (ok. 14 punktów) - wartość bezwzględna, potęgi, procenty, funkcja liniowa, odczytywanie z wykresu. Absolutna baza, bez której nie ma sensu podchodzić do egzaminu.

Średnie (ok. 21 punktów) - równania wymierne, nierówności kwadratowe, ciągi, logarytmy, trygonometria, geometria analityczna. Tu walczysz o wynik 50-70%. Solidna znajomość wzorów i umiejętność ich stosowania wystarczą.

Trudne (ok. 15 punktów) - stereometria (stożek, prostopadłościan), planimetria (trapez), dowody z podzielnością. Ambitne zadania za 4-5 punktów wymagające przestrzennej wyobraźni i systematycznego podejścia.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 1 - Wartość bezwzględna (1 pkt) ↗

Treść: Równanie $|x+4| = 7$ ma dwa rozwiązania $x_1$ i $x_2$. Suma $x_1 + x_2$ jest równa

Rozwiązanie:

Rozwiązujemy dwa przypadki:

$$x + 4 = 7 \implies x_1 = 3$$ $$x + 4 = -7 \implies x_2 = -11$$

Suma:

$$x_1 + x_2 = 3 + (-11) = -8$$

Odpowiedź: $-8$

Szybki trick: W równaniu $|x + a| = b$ suma rozwiązań to zawsze $-2a$. Tutaj $-2 \cdot 4 = -8$. Wynika to z tego, że rozwiązania są symetryczne względem punktu $x = -a$. Na maturze ten trick oszczędza czas - wystarczy pomnożyć liczbę przy $x$ przez $-2$, bez rozwiązywania dwóch równań.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 2 - Potęgi (1 pkt) ↗

Treść: Wartość wyrażenia $\left(\sqrt[5]{5} \cdot \frac{1}{5}\right)^{-5}$ jest równa

Rozwiązanie:

Zamieniamy na potęgi o podstawie 5:

$$\sqrt[5]{5} = 5^{\frac{1}{5}}, \quad \frac{1}{5} = 5^{-1}$$

Mnożymy (dodajemy wykładniki):

$$5^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{-1} = 5^{\frac{1}{5}-1} = 5^{\frac{1}{5} - \frac{5}{5}} = 5^{-\frac{4}{5}}$$

Podnosimy do potęgi $-5$ (mnożymy wykładniki):

$$\left(5^{-\frac{4}{5}}\right)^{-5} = 5^{-\frac{4}{5} \cdot (-5)} = 5^{\frac{20}{5}} = 5^4 = 625$$

Odpowiedź: $5^4 = 625$

Potęgi wymierne i ujemne to ulubiony temat CKE. Klucz do sukcesu: zamień wszystko na potęgi o tej samej podstawie, a potem stosuj reguły $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ i $(a^m)^n = a^{mn}$. Więcej ćwiczeń na stronie zadań z potęg.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 3 - Dowodzenie podzielności (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Wykaż, że liczba $2^{100} + 4^{49} + 16^{24}$ jest podzielna przez 21.

Rozwiązanie:

Krok 1: Sprowadzamy wszystko do potęg dwójki:

$$4^{49} = (2^2)^{49} = 2^{98}$$ $$16^{24} = (2^4)^{24} = 2^{96}$$

Krok 2: Zapisujemy sumę:

$$2^{100} + 2^{98} + 2^{96}$$

Krok 3: Wyciągamy $2^{96}$ (najmniejszą potęgę) przed nawias:

$$2^{96}(2^4 + 2^2 + 1) = 2^{96}(16 + 4 + 1) = 2^{96} \cdot 21$$

Ponieważ $2^{96}$ jest liczbą całkowitą, wyrażenie $2^{96} \cdot 21$ jest podzielne przez 21. $\square$

Kluczowa obserwacja: sprowadzenie do wspólnej podstawy i wyciągnięcie najmniejszej potęgi. To dokładnie ten sam schemat co w zadaniu 5 z matury sierpniowej 2025. CKE powtarza te schematy co roku - wystarczy je rozpoznać.

Wskazówka: Gdy widzisz sumę potęg i podzielność, zawsze spróbuj: (1) sprowadzić do wspólnej podstawy, (2) wyciągnąć wspólny czynnik, (3) sprawdzić, czy wyrażenie w nawiasie daje się uprościć do dzielnika.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 8 - Równanie wymierne (otwarte, 3 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż równanie $\frac{x+3}{x-1} = \frac{x}{2x-2}$

Rozwiązanie:

Krok 1 - Faktoryzacja. Zauważamy, że $2x - 2 = 2(x-1)$. To kluczowa obserwacja, która upraszcza rachunki.

Krok 2 - Dziedzina: $x - 1 \neq 0$, czyli $x \neq 1$.

Krok 3 - Mnożenie obu stron przez $2(x-1)$:

$$2(x+3) = x$$ $$2x + 6 = x$$ $$x = -6$$

Krok 4 - Sprawdzenie z dziedziną: $-6 \neq 1$ - OK.

Krok 5 - Sprawdzenie arytmetyczne: $\frac{-6+3}{-6-1} = \frac{-3}{-7} = \frac{3}{7}$ oraz $\frac{-6}{2(-6)-2} = \frac{-6}{-14} = \frac{3}{7}$ $\checkmark$

Odpowiedź: $x = -6$

Kluczowe było zauważenie, że $2x - 2 = 2(x - 1)$ - to upraszcza rachunki z równania kwadratowego do liniowego. Szukaj takich faktoryzacji w równaniach wymiernych - oszczędzają masę czasu. Na schemacie oceniania CKE punkt za dziedzinę i punkt za sprawdzenie to łącznie 2 z 3 punktów - nawet jeśli pomylisz się w rachunkach, te kroki dają punkty cząstkowe.

Więcej ćwiczeń na stronie zadań z równań i nierówności.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 9 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż nierówność $x(x-6) \leq 7$

Rozwiązanie:

Rozwijamy lewą stronę i przenosimy:

$$x^2 - 6x \leq 7$$ $$x^2 - 6x - 7 \leq 0$$

Szukamy miejsc zerowych trójmianu:

$$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$ $$\sqrt{\Delta} = 8$$ $$x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$$

Rozkład na czynniki: $(x+1)(x-7) \leq 0$

Parabola $y = (x+1)(x-7)$ jest skierowana ramionami do góry ($a = 1 > 0$), więc jest niedodatnia między pierwiastkami:

$$x \in \langle -1, 7 \rangle$$

Odpowiedź: $x \in \langle -1, 7 \rangle$

Standardowa nierówność kwadratowa - schemat: (1) przenieś wszystko na jedną stronę, (2) oblicz deltę i pierwiastki, (3) odczytaj rozwiązanie z wykresu paraboli. Pamiętaj: nierówność $\leq 0$ to "parabola pod osią OX", a $\geq 0$ to "parabola nad osią OX". Więcej o równaniach i nierównościach na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 24 - Trapez prostokątny (otwarte, 4 pkt) ↗

Treść: W trapezie prostokątnym ABCD kąt przy wierzchołku D wynosi 60 stopni. Krótsza podstawa CD ma długość 4, a ramię BC prostopadłe do podstaw ma długość 6. Oblicz pole trapezu.

Rozwiązanie:

Rysujemy trapez prostokątny ABCD. Kąt prosty jest przy B i C (ramię BC prostopadłe do podstaw). Kąt $\angle ADC = 60°$.

Krok 1: Wysokość trapezu to długość ramienia prostopadłego: $h = BC = 6$.

Krok 2: Opuszczamy wysokość z D na AB - oznaczmy stopę jako E. Odcinek DE ma długość $h = 6$, a AE to różnica długości podstaw.

Krok 3: W trójkącie prostokątnym AED kąt $\angle ADE = 60°$. Kąt ten jest przy D, więc:

$$\tg 60° = \frac{AE}{DE}$$ $$\sqrt{3} = \frac{AE}{6}$$ $$AE = 6\sqrt{3}$$

Krok 4: Dłuższa podstawa AB:

$$AB = CD + AE = 4 + 6\sqrt{3}$$

Krok 5: Pole trapezu:

$$P = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(4 + 6\sqrt{3} + 4) \cdot 6}{2} = \frac{(8 + 6\sqrt{3}) \cdot 6}{2}$$ $$= 3(8 + 6\sqrt{3}) = 24 + 18\sqrt{3}$$

Odpowiedź: $P = 24 + 18\sqrt{3}$

To zadanie za 4 punkty łączy planimetrię z trygonometrią. Na schemacie oceniania: punkt za rysunek/oznaczenia, punkt za obliczenie AE, punkt za dłuższą podstawę, punkt za pole. Nawet jeśli nie dokończysz obliczeń, prawidłowy rysunek i $AE = 6\sqrt{3}$ to już 2 punkty. Przeczytaj przewodnik po planimetrii i trygonometrii.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 31 - Stożek (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku 8. Oblicz objętość stożka.

Rozwiązanie:

Przekrój osiowy stożka to trójkąt, którego podstawa to średnica stożka, a boki to tworzące. Skoro ten trójkąt jest równoboczny o boku 8:

Wysokość stożka z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym (promień, wysokość, tworząca):

$$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$

Objętość stożka:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{64\sqrt{3}\pi}{3}$$

Odpowiedź: $V = \frac{64\sqrt{3}\pi}{3}$

Kluczem jest zrozumienie, co oznacza "przekrój osiowy" - to przekrój bryły płaszczyzną przechodzącą przez oś symetrii. Dla stożka daje trójkąt, dla walca prostokąt, dla kuli koło. To pojęcie pojawia się na maturze co roku. Więcej ćwiczeń w przewodniku po stereometrii.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 35 - Prostopadłościan (otwarte, 4 pkt) ↗

Treść: Prostopadłościan ma wymiary $a$, $2a$ i $3a$. Przekątna prostopadłościanu ma długość $14\sqrt{2}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość.

Rozwiązanie:

Krok 1 - Przekątna prostopadłościanu. Wzór na przekątną prostopadłościanu o wymiarach $p$, $q$, $r$:

$$d = \sqrt{p^2 + q^2 + r^2}$$

Podstawiamy:

$$d = \sqrt{a^2 + (2a)^2 + (3a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2 + 9a^2} = \sqrt{14a^2} = a\sqrt{14}$$

Krok 2 - Wyznaczenie a. Z warunku $d = 14\sqrt{2}$:

$$a\sqrt{14} = 14\sqrt{2}$$ $$a = \frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{14}} = \frac{14\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}}{14} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{14} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$$

Wymiary prostopadłościanu: $2\sqrt{7}$, $4\sqrt{7}$, $6\sqrt{7}$.

Krok 3 - Objętość:

$$V = a \cdot 2a \cdot 3a = 6a^3 = 6 \cdot (2\sqrt{7})^3 = 6 \cdot 8 \cdot 7\sqrt{7} = 336\sqrt{7}$$

Krok 4 - Pole powierzchni całkowitej:

$$P_c = 2(a \cdot 2a + a \cdot 3a + 2a \cdot 3a) = 2(2a^2 + 3a^2 + 6a^2) = 2 \cdot 11a^2 = 22a^2$$ $$P_c = 22 \cdot (2\sqrt{7})^2 = 22 \cdot 4 \cdot 7 = 22 \cdot 28 = 616$$

Odpowiedź: $V = 336\sqrt{7}$, $P_c = 616$

To najtrudniejsze zadanie w arkuszu - wymaga obliczenia wymiarów z przekątnej, a potem systematycznego podstawienia. Schemat oceniania: punkt za wzór na przekątną, punkt za wyznaczenie $a$, punkt za objętość, punkt za pole. Nawet jeśli wiesz tylko wzór na przekątną, to już punkt. Przeczytaj przewodnik po stereometrii na maturze - prostopadłościan to najpopularniejsza bryła na egzaminie.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 33 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem. Kliknij w dowolne zadanie:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-5 pkt):

Co warto powtórzyć po tym arkuszu

Na podstawie analizy arkusza grudniowego 2024, oto lista priorytetów:

1. Stereometria - aż 4 zadania za 8 punktów. Musisz znać: stożek (przekrój osiowy, objętość), prostopadłościan (przekątna, pole, objętość), walec, ostrosłup. Ćwicz stereometrię
2. Potęgi - zamiana na wspólną podstawę, potęgi wymierne i ujemne. Ćwicz potęgi
3. Równania wymierne - faktoryzacja mianowników, dziedzina, sprawdzenie. Ćwicz równania
4. Nierówności kwadratowe - schemat: przenieś, oblicz deltę, odczytaj z paraboli
5. Planimetria z trygonometrią - wartości funkcji trygonometrycznych kątów szczególnych (30, 45, 60 stopni)

Porównanie z innymi arkuszami CKE

Ten arkusz wpisuje się w trend CKE z lat 2024-2025:

Wniosek: musisz być przygotowany na każdy scenariusz. CKE rotuje dominujące kategorie.

Przygotowujesz się do matury? Rozwiąż cały arkusz interaktywnie na Sprawnej Maturze - mamy 2438 zadań z prawdziwych arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Wejdź na losowe zadanie, żeby przetestować swoją wiedzę, albo sprawdź nasz plan premium po pełne rozwiązania.