Matura poprawkowa sierpień 2025 - rozwiązania zadań

O arkuszu - Matura poprawkowa sierpień 2025

Matura poprawkowa z matematyki na poziomie podstawowym z sesji sierpniowej 2025 to szansa dla osób, które nie zdały egzaminu w maju lub czerwcu. Zgodnie z informatorem CKE arkusz w aktualnej formule (obowiązującej od matury maj 2025) liczy 50 punktów, a przewidywana liczba zadań to od 27 do 39. Czas na rozwiązanie to 180 minut, a próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów.

Sesja poprawkowa tradycyjnie ma porównywalny poziom trudności do sesji majowej - CKE nie robi jej ani łatwiejszą, ani trudniejszą. Jeśli przygotowujesz się do kolejnego podejścia, ten arkusz powinien być jednym z pierwszych, które przeanalizujesz. Sprawdź też rozwiązania matury majowej 2025 i sesji dodatkowej z czerwca 2025 - razem dają pełny obraz tego, czego CKE oczekuje. W naszej bazie znajdziesz 31 zadań z tego arkusza (16 zamkniętych i 15 otwartych), sumujące się dokładnie do 50 punktów.

Numery zadań w tym artykule pochodzą z naszej bazy i są takie same jak na stronach zadań w aplikacji; mogą różnić się od numeracji w oficjalnym arkuszu CKE, zwłaszcza gdy arkusz zawiera zadania wieloczęściowe.

Arkusz CKE z rozwiązaniami Rozwiąż arkusz: matura sierpień 2025

Rozkład kategorii w arkuszu

Kategoria	Liczba zadań	Punkty
Potęgi i pierwiastki	8	10
Geometria analityczna	4	8
Równania i nierówności	3	5
Stereometria	2	5
Procenty	2	5
Logarytmy	2	3
Planimetria	2	3
Ciągi	2	2
Trygonometria	2	2
Funkcja kwadratowa	1	3
Prawdopodobieństwo	1	2
Funkcja liniowa	1	1
Liczby rzeczywiste	1	1

Dominującą kategorią są w naszej bazie potęgi i pierwiastki - aż 8 zadań za 10 punktów. To potwierdzenie trendu z ostatnich lat: CKE konsekwentnie sprawdza umiejętność przekształcania wyrażeń algebraicznych. Na drugim miejscu znalazła się geometria analityczna (4 zadania za 8 punktów), a zaraz za nią równania i nierówności (3 zadania za 5 punktów).

Warto zestawić ten rozkład z innymi sesjami 2025, żeby zobaczyć, jak CKE zmienia proporcje kategorii z arkusza na arkusz - trzon (potęgi, równania, geometria) pozostaje jednak stabilny.

Rozwiązania krok po kroku

Zadanie 5 - Dowodzenie podzielności (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura sierpień 2025Zadanie 5Potęgi i pierwiastki2 pktOtwarte

Wykaż, że liczba

8^{50}-2^{145}

jest podzielna przez

31

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Zauważamy, że $8 = 2^3$ , więc:

8^{50} = (2^3)^{50} = 2^{150}

Zatem:

8^{50} - 2^{145} = 2^{150} - 2^{145}

Wyciągamy $2^{145}$ przed nawias:

2^{150} - 2^{145} = 2^{145}(2^5 - 1) = 2^{145} \cdot 31

Ponieważ $2^{145} \cdot 31$ jest iloczynem liczby całkowitej i 31, wyrażenie $8^{50} - 2^{145}$ jest podzielne przez 31. $\square$

Kluczowa obserwacja: sprowadzenie obu składników do potęg tej samej podstawy i wyciągnięcie wspólnego czynnika. To schemat, który pojawia się na maturze regularnie - przeczytaj zadania z potęg na maturze, żeby przećwiczyć analogiczne dowody. Porównaj z zadaniem 3 z matury próbnej CKE grudzień 2024, które miało identyczny schemat.

Losuj kolejne zadanie z działu Potęgi i pierwiastki

Arkusz CKE z rozwiązaniami Rozwiąż arkusz: matura sierpień 2025

Pozostałe zadania arkusza

Poniższe zadania z tego arkusza możesz rozwiązać interaktywnie - kliknij w kartę, żeby zobaczyć pełną treść i sprawdzić swoje rozwiązanie.

Potęgi i pierwiastki (zadanie 1)

Wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb to odległość między nimi na osi liczbowej. Wskazówka: porównaj $\sqrt{5}$ z liczbami 1 i 3, żeby wiedzieć, czy wyrażenia pod modułami są dodatnie czy ujemne, zanim zdejmiesz nawiasy.

Matura sierpień 2025Zadanie 1Potęgi i pierwiastki1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba

\lvert \sqrt{5}-3\rvert+\lvert \sqrt{5}-1\rvert

jest równa

A. $2\sqrt{5}-4$
B. $2\sqrt{5}+4$
C. $2$
D. $4$

Losuj kolejne zadanie z działu Potęgi i pierwiastki

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Kluczowe to ustalić, czy wyrażenia pod wartością bezwzględną są dodatnie czy ujemne. Wiemy, że $\sqrt{5} \approx 2{,}236$ , więc:

• $\sqrt{5} - 3 < 0$ , zatem $|\sqrt{5}-3| = 3 - \sqrt{5}$
• $\sqrt{5} - 1 > 0$ , zatem $|\sqrt{5}-1| = \sqrt{5} - 1$

Dodajemy:

|\sqrt{5}-3|+|\sqrt{5}-1| = (3 - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - 1) = 3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1 = 2

Odpowiedź: $2$

Zwróć uwagę, że $\sqrt{5}$ się skraca - to typowy schemat CKE. Gdy widzisz sumę dwóch wartości bezwzględnych, sprawdź, czy pierwiastki się nie uproszczą.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Potęgi i pierwiastki (zadanie 2)

Potęgi o wykładnikach ujemnych warto sprowadzić do wspólnej podstawy pierwszej - tu naturalnym kandydatem jest 5. Pułapka: $25$ i $125$ to różne potęgi piątki, więc dopasuj wykładniki, zanim zaczniesz dzielić.

Matura sierpień 2025Zadanie 2Potęgi i pierwiastki1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba

\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}}

jest równa

A. $5^{-16}$
B. $5^{-2}$
C. $5^{4}$
D. $5^{8}$

Losuj kolejne zadanie z działu Potęgi i pierwiastki

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Sprowadzamy do wspólnej podstawy 5. To kluczowa technika - jeśli widzisz 25 i 125 w jednym zadaniu, od razu myśl "potęgi piątki":

25^{-2} = (5^2)^{-2} = 5^{-4}

125^{-4} = (5^3)^{-4} = 5^{-12}

Dzielimy potęgi o tej samej podstawie (odejmujemy wykładniki):

\frac{5^{-4}}{5^{-12}} = 5^{-4-(-12)} = 5^{-4+12} = 5^8

Odpowiedź: $5^8$

Klasyczne zadanie na sprowadzanie do wspólnej podstawy i działania na wykładnikach ujemnych. Najczęstszy błąd: odejmowanie wykładników w złą stronę. Pamiętaj: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , nie $a^{n-m}$ . Więcej tego typu ćwiczeń znajdziesz na stronie zadań z potęg i pierwiastków.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Równania i nierówności (zadanie 8)

Równanie wymierne wymaga najpierw ustalenia dziedziny, a dopiero potem sprowadzenia do wspólnego mianownika. Pułapka: po rozwiązaniu równania sprawdź, które pierwiastki należą jednocześnie do dziedziny i do wskazanego przedziału.

Matura sierpień 2025Zadanie 8Równania i nierówności3 pktOtwarte

Dane jest równanie

\frac{3}{3x-7}=\frac{5x}{x-8},\quad \text{gdzie } x\ne \frac{7}{3} \text{ i } x\ne 8.

Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału

\left(\frac{5}{4},+\infty\right)

. Zapisz obliczenia.

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Dziedzinę podaje treść: $x \ne \frac{7}{3}$ i $x \ne 8$ . Mnożymy obie strony przez $(3x - 7)(x - 8)$ :

3(x - 8) = 5x(3x - 7)

3x - 24 = 15x^2 - 35x \Rightarrow 15x^2 - 38x + 24 = 0

Liczymy wyróżnik i pierwiastki:

\Delta = 38^2 - 4 \cdot 15 \cdot 24 = 1444 - 1440 = 4, \quad \sqrt{\Delta} = 2

x_1 = \frac{38 - 2}{30} = \frac{6}{5}, \qquad x_2 = \frac{38 + 2}{30} = \frac{4}{3}

Oba należą do dziedziny, ale zadanie pyta o przedział $\left(\frac{5}{4}, +\infty\right)$ . Ponieważ $\frac{6}{5} < \frac{5}{4}$ (bo $6 \cdot 4 < 5 \cdot 5$ ), pierwszy pierwiastek odpada; $\frac{4}{3} > \frac{5}{4}$ (bo $4 \cdot 4 > 5 \cdot 3$ ), więc zostaje drugi.

Odpowiedź: $x = \frac{4}{3}$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Funkcja kwadratowa (zadanie 16)

Oś symetrii paraboli i jedno miejsce zerowe wystarczą, żeby wyznaczyć drugie miejsce zerowe z symetrii wykresu. Wskazówka: przesunięcie wykresu o stałą wartość argumentu przesuwa oś symetrii o tyle samo.

Matura sierpień 2025Zadanie 16Funkcja kwadratowa3 pktOtwarte

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}+bx+c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x,y)

prosta o równaniu

x=1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja

f

jest określona wzorem
A.

f(x)=\tfrac{1}{2}(x-4)(x-6)

f(x)=\tfrac{1}{2}(x-4)(x+6)

f(x)=\tfrac{1}{2}(x+4)(x-6)

f(x)=\tfrac{1}{2}(x+4)(x+6)

b) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F
Współczynnik $c$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F
c) Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x)=f(x-3)$ . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Osią symetrii wykresu funkcji $g$ jest prosta o równaniu A. $x=-2$ B. $x=1$ C. $x=3$ D. $x=4$ .	P	F

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie wczytuje się po otwarciu. Otwórz w aplikacji.

Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja kwadratowa

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Trygonometria (zadanie 24)

Z jedynki trygonometrycznej wyznaczasz sinus kąta ostrego ze znanego cosinusa, a potem liczysz tangens jako iloraz obu. Wskazówka: kąt ostry oznacza, że wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie.

Matura sierpień 2025Zadanie 24Trygonometria1 pkt

Kąt

\alpha

jest ostry oraz

\cos\alpha=\frac{5}{13}

. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta

\alpha

jest równy

A. $\frac{5}{12}$
B. $\frac{12}{13}$
C. $\frac{13}{12}$
D. $\frac{12}{5}$

Losuj kolejne zadanie z działu Trygonometria

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}

Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym, $\sin\alpha > 0$ :

\sin\alpha = \frac{12}{13}

Obliczamy tangens:

\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}

Odpowiedź: $\tg\alpha = \frac{12}{5}$

To klasyczny trójkąt pitagorejski $5, 12, 13$ . Warto znać najczęstsze trójki pitagorejskie (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) - oszczędzają czas na maturze, bo można rozpoznać wartości bez rachunków. Przeczytaj nasz przewodnik po trygonometrii, żeby przećwiczyć zadania z jedynką trygonometryczną.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Stereometria (zadanie 35)

Kąt między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy prowadzi do trójkąta prostokątnego z wysokością graniastosłupa. Wskazówka: wysokość trójkąta równobocznego w podstawie przyda się do policzenia pola powierzchni.

Matura sierpień 2025Zadanie 35Stereometria4 pktOtwarte

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny

ABCDEF

. Wysokość podstawy

ABC

jest równa

2\sqrt{3}

. Przekątna

AE

ściany bocznej

ABED

tworzy z krawędzią

AB

kąt o mierze

60^\circ

(zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym, a jego wysokość wyraża się wzorem $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ , więc krawędź podstawy wynosi:

\frac{a\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \Rightarrow a = 4

Ściana $ABED$ jest prostokątem o bokach $AB = 4$ i $BE = H$ , a kąt $60^\circ$ leży przy wierzchołku $A$ w trójkącie prostokątnym $ABE$ :

\tg 60^\circ = \frac{H}{4} \Rightarrow H = 4\sqrt{3}

Pole podstawy liczymy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego:

P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}

Stąd objętość i pole powierzchni całkowitej:

V = P_p \cdot H = 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 48

P_c = 2P_p + 3aH = 8\sqrt{3} + 3 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}

Odpowiedź: $V = 48$ , $P_c = 56\sqrt{3}$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Prawdopodobieństwo (zadanie 38)

Dwukrotny rzut kostką daje 36 jednakowo prawdopodobnych wyników - warto wypisać, które z nich tworzą liczby dwucyfrowe spełniające oba warunki naraz. Wskazówka: liczba nieparzysta i podzielna przez 3 jednocześnie ma ściśle ograniczoną cyfrę jedności.

Matura sierpień 2025Zadanie 38Prawdopodobieństwo2 pktOtwarte

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez

3

. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie wczytuje się po otwarciu. Otwórz w aplikacji.

Losuj kolejne zadanie z działu Prawdopodobieństwo

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

W naszej bazie znajdziesz 31 zadań z tego arkusza z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

Zadania zamknięte:

•Zadanie 1 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
•Zadanie 2 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
•Zadanie 3 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
•Zadanie 4 - Logarytmy (1 pkt)
•Zadanie 6 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
•Zadanie 7 - Równania i nierówności (1 pkt)
•Zadanie 10 - Równania i nierówności (1 pkt)
•Zadanie 15 - Funkcja liniowa (1 pkt)
•Zadanie 20 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
•Zadanie 21 - Ciągi (1 pkt)
•Zadanie 22 - Ciągi (1 pkt)
•Zadanie 23 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
•Zadanie 24 - Trygonometria (1 pkt)
•Zadanie 25 - Trygonometria (1 pkt)
•Zadanie 36 - Stereometria (1 pkt)
•Zadanie 37 - Liczby rzeczywiste (1 pkt)

Zadania otwarte:

•Zadanie 5 - Potęgi i pierwiastki (2 pkt)
•Zadanie 8 - Równania i nierówności (3 pkt)
•Zadanie 9 - Potęgi i pierwiastki (2 pkt)
•Zadanie 11 - Logarytmy (2 pkt)
•Zadanie 12 - Geometria analityczna (4 pkt)
•Zadanie 16 - Funkcja kwadratowa (3 pkt)
•Zadanie 26 - Geometria analityczna (2 pkt)
•Zadanie 29 - Planimetria (2 pkt)
•Zadanie 32 - Planimetria (1 pkt)
•Zadanie 33 - Geometria analityczna (1 pkt)
•Zadanie 34 - Geometria analityczna (1 pkt)
•Zadanie 35 - Stereometria (4 pkt)
•Zadanie 38 - Prawdopodobieństwo (2 pkt)
•Zadanie 39 - Procenty (3 pkt)
•Zadanie 40 - Procenty (2 pkt)

Co warto powtórzyć po tym arkuszu

Na podstawie analizy zadań tego arkusza w naszej bazie, oto priorytety do powtórki:

1.Potęgi i pierwiastki - sprowadzanie do wspólnej podstawy, wyciąganie przed nawias, upraszczanie. To 10 punktów, czyli 20% arkusza. Bez biegłości w potęgach nie zdasz matury. Ćwicz potęgi
2.Równania wymierne - zawsze pamiętaj o dziedzinie, szukaj faktoryzacji mianowników. Ćwicz równania
3.Stereometria - wzory na objętość i pole graniastosłupa prawidłowego, stożka, ostrosłupa. Ćwicz stereometrię
4.Funkcja kwadratowa z wieloma podpunktami - schemat: postać kanoniczna, oś symetrii, przesunięcie wykresu
5.Dowody podzielności - wyciąganie wspólnego czynnika, sprowadzanie do potęg o tej samej podstawie

Strategia na maturę poprawkową

Jeśli podchodzisz do matury poprawkowej, masz przewagę: znasz arkusze z maja i czerwca. Skup się na:

•Zadaniach zamkniętych - w naszej bazie to 16 punktów za stosunkowo proste rachunki. Celuj w bezbłędność
•Łatwych zadaniach otwartych (za 1-2 pkt) - dowody podzielności, proste równania, prawdopodobieństwo
•Punktach cząstkowych w trudnych zadaniach - nawet napisanie samej dziedziny lub narysowanie rysunku daje punkt

Przygotowujesz się do matury? Rozwiąż cały arkusz interaktywnie na Sprawnej Maturze - mamy ponad 2300 zadań z prawdziwych arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Możesz też spróbować losowego zadania, żeby sprawdzić swoją wiedzę z różnych kategorii. Jeśli chcesz dostęp do pełnych rozwiązań wszystkich zadań, sprawdź nasz plan premium.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Matura poprawkowa sierpień 2025 - matematyka, zadania i przykładowe rozwiązanie

O arkuszu - Matura poprawkowa sierpień 2025

Rozkład kategorii w arkuszu

Rozwiązania krok po kroku

Zadanie 5 - Dowodzenie podzielności (otwarte, 2 pkt) ↗

Pozostałe zadania arkusza

Potęgi i pierwiastki (zadanie 1)

Potęgi i pierwiastki (zadanie 2)

Równania i nierówności (zadanie 8)

Funkcja kwadratowa (zadanie 16)

Trygonometria (zadanie 24)

Stereometria (zadanie 35)

Prawdopodobieństwo (zadanie 38)

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Co warto powtórzyć po tym arkuszu

Strategia na maturę poprawkową

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Czytaj dalej

Matura czerwiec 2025 matematyka - rozwiązania całego arkusza krok po kroku

Matura maj 2025 matematyka - rozwiązania całego arkusza krok po kroku

Matura próbna luty 2026 matematyka - arkusz, rozkład kategorii i 5 zadań krok po kroku