Matura poprawkowa sierpień 2025 - matematyka, rozwiązania arkusza

O arkuszu - Matura poprawkowa sierpień 2025

Matura poprawkowa z matematyki na poziomie podstawowym z sesji sierpniowej 2025 to szansa dla osób, które nie zdały egzaminu w maju lub czerwcu. Arkusz zawierał 36 zadań: 22 zamknięte i 14 otwartych, za łącznie 50 punktów. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów.

Sesja poprawkowa tradycyjnie ma porównywalny poziom trudności do sesji majowej - CKE nie robi jej ani łatwiejszej, ani trudniejszej. Jeśli przygotowujesz się do kolejnego podejścia, ten arkusz powinien być jednym z pierwszych, które przeanalizujesz. Sprawdź też rozwiązania matury majowej 2025 i sesji dodatkowej z czerwca 2025 - razem dają pełny obraz tego, czego CKE oczekuje.

Rozkład kategorii w arkuszu

Dominującą kategorią są potęgi i pierwiastki - aż 8 zadań za 10 punktów. To potwierdzenie trendu z ostatnich lat: CKE konsekwentnie sprawdza umiejętność przekształcania wyrażeń algebraicznych. Na drugim miejscu znalazły się równania i nierówności (4 zadania za 7 punktów). Mocno reprezentowana jest też planimetria (5 zadań), choć za stosunkowo niewielką liczbę punktów - co oznacza, że to głównie proste zadania zamknięte.

Warto porównać ten rozkład z maturą majową 2025. Sierpniowy arkusz miał więcej potęg kosztem geometrii analitycznej. To typowe dla sesji poprawkowej - CKE nieco zmienia proporcje, ale trzon (potęgi, równania, planimetria/stereometria) pozostaje stabilny.

Poziom trudności - porównanie z innymi sesjami 2025

Arkusz sierpniowy 2025 był zbliżony trudnością do majowej matury 2025, z nieco większą liczbą zadań z potęg kosztem geometrii analitycznej.

Łatwe (ok. 16 punktów) - wartości bezwzględne, podstawowe potęgi, proste równania liniowe, odczytywanie z wykresu. To absolutne minimum potrzebne do zdania. Jeśli masz problem z tymi zadaniami, zacznij od przewodnika po potęgach i funkcji liniowej.

Średnie (ok. 20 punktów) - równania wymierne, ciągi, trygonometria, prawdopodobieństwo, planimetria. Tu zdobywasz punkty na 50-70%. Przeczytaj jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze, żeby maksymalizować punkty cząstkowe.

Trudne (ok. 14 punktów) - stereometria za 5 punktów (graniastosłup), zadanie dowodowe z podzielnością, optymalizacja z funkcją kwadratową. To zadania, które odróżniają wynik 60% od 80%+. Nawet jeśli nie rozwiążesz ich w całości, punkty cząstkowe są tu na wyciągnięcie ręki.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 1 - Wartość bezwzględna (1 pkt) ↗

Treść: Wartość wyrażenia $|\sqrt{5}-3|+|\sqrt{5}-1|$ jest równa

Rozwiązanie:

Kluczowe to ustalić, czy wyrażenia pod wartością bezwzględną są dodatnie czy ujemne. Wiemy, że $\sqrt{5} \approx 2{,}236$, więc:

Dodajemy:

$$|\sqrt{5}-3|+|\sqrt{5}-1| = (3 - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - 1) = 3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1 = 2$$

Odpowiedź: $2$

Zwróć uwagę, że $\sqrt{5}$ się skraca - to typowy schemat CKE. Gdy widzisz sumę dwóch wartości bezwzględnych, sprawdź, czy pierwiastki się nie uproszczą. Ten sam schemat pojawił się na maturze majowej 2025.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 2 - Potęgi (1 pkt) ↗

Treść: Wartość wyrażenia $\frac{25^{-2}}{125^{-4}}$ jest równa

Rozwiązanie:

Sprowadzamy do wspólnej podstawy 5. To kluczowa technika - jeśli widzisz 25 i 125 w jednym zadaniu, od razu myśl "potęgi piątki":

$$25^{-2} = (5^2)^{-2} = 5^{-4}$$ $$125^{-4} = (5^3)^{-4} = 5^{-12}$$

Dzielimy potęgi o tej samej podstawie (odejmujemy wykładniki):

$$\frac{5^{-4}}{5^{-12}} = 5^{-4-(-12)} = 5^{-4+12} = 5^8$$

Odpowiedź: $5^8$

Klasyczne zadanie na sprowadzanie do wspólnej podstawy i działania na wykładnikach ujemnych. Najczęstszy błąd: odejmowanie wykładników w złą stronę. Pamiętaj: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, nie $a^{n-m}$. Więcej tego typu ćwiczeń znajdziesz na stronie zadań z potęg i pierwiastków.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 5 - Dowodzenie podzielności (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Wykaż, że liczba $8^{50} - 2^{145}$ jest podzielna przez 31.

Rozwiązanie:

Zauważamy, że $8 = 2^3$, więc:

$$8^{50} = (2^3)^{50} = 2^{150}$$

Zatem:

$$8^{50} - 2^{145} = 2^{150} - 2^{145}$$

Wyciągamy $2^{145}$ przed nawias:

$$2^{150} - 2^{145} = 2^{145}(2^5 - 1) = 2^{145} \cdot 31$$

Ponieważ $2^{145} \cdot 31$ jest iloczynem liczby całkowitej i 31, wyrażenie $8^{50} - 2^{145}$ jest podzielne przez 31. $\square$

Kluczowa obserwacja: sprowadzenie obu składników do potęg tej samej podstawy i wyciągnięcie wspólnego czynnika. To schemat, który pojawia się na maturze regularnie - przeczytaj zadania z potęg na maturze, żeby przećwiczyć analogiczne dowody. Porównaj z zadaniem 3 z matury próbnej CKE grudzień 2024, które miało identyczny schemat.

Wskazówka egzaminacyjna: W zadaniach dowodowych na podzielność zawsze szukaj sposobu, żeby wyrażenie zapisać jako iloczyn dwóch czynników, z których jeden to dzielnik z treści. Nie musisz obliczać wartości liczbowej - wystarczy pokazać strukturę iloczynu.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 8 - Równanie wymierne (otwarte, 3 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż równanie $\frac{3}{3x-7} = \frac{5x}{x-8}$

Rozwiązanie:

Krok 1 - Dziedzina. Wyznaczamy wartości, dla których mianowniki się zerują:

$3x - 7 \neq 0 \implies x \neq \frac{7}{3}$ oraz $x - 8 \neq 0 \implies x \neq 8$

Krok 2 - Mnożenie obu stron. Mnożymy przez $(3x-7)(x-8)$:

$$3(x-8) = 5x(3x-7)$$

Rozwijamy lewą stronę:

$$3x - 24 = 15x^2 - 35x$$

Krok 3 - Równanie kwadratowe. Przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$15x^2 - 35x - 3x + 24 = 0$$ $$15x^2 - 38x + 24 = 0$$

Krok 4 - Rozwiązanie. Obliczamy wyróżnik:

$$\Delta = (-38)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 24 = 1444 - 1440 = 4$$ $$\sqrt{\Delta} = 2$$ $$x_1 = \frac{38 + 2}{30} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$$ $$x_2 = \frac{38 - 2}{30} = \frac{36}{30} = \frac{6}{5}$$

Krok 5 - Sprawdzenie z dziedziną: $\frac{4}{3} \neq \frac{7}{3}$, $\frac{4}{3} \neq 8$ - OK. $\frac{6}{5} \neq \frac{7}{3}$, $\frac{6}{5} \neq 8$ - OK.

Odpowiedź: $x = \frac{4}{3}$ lub $x = \frac{6}{5}$

Pamiętaj: w równaniach wymiernych zawsze sprawdzaj dziedzinę! Pominięcie tego kroku kosztuje punkt na maturze, nawet jeśli rachunki są poprawne. Na schemacie oceniania CKE wyznaczenie dziedziny to osobny punkt. Więcej o równaniach i nierównościach.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 24 - Trygonometria (1 pkt) ↗

Treść: Kąt ostry $\alpha$ spełnia warunek $\cos\alpha = \frac{5}{13}$. Wartość $\tg\alpha$ jest równa

Rozwiązanie:

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$

Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym, $\sin\alpha > 0$:

$$\sin\alpha = \frac{12}{13}$$

Obliczamy tangens:

$$\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}$$

Odpowiedź: $\tg\alpha = \frac{12}{5}$

To klasyczny trójkąt pitagorejski $5, 12, 13$. Warto znać najczęstsze trójki pitagorejskie (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) - oszczędzają czas na maturze, bo można rozpoznać wartości bez rachunków. Przeczytaj nasz przewodnik po trygonometrii, żeby przećwiczyć zadania z jedynką trygonometryczną.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 35 - Stereometria, graniastosłup (otwarte, 4 pkt) ↗

Treść: Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy $a$ i wysokości $H$. Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej.

Rozwiązanie:

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny o boku $a$.

a) Pole podstawy (trójkąt równoboczny o boku $a$):

Wysokość trójkąta równobocznego:

$$h_t = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Pole:

$$P_p = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

b) Objętość:

$$V = P_p \cdot H = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H$$

c) Pole powierzchni bocznej:

Graniastosłup ma 3 ściany boczne, każda jest prostokątem $a \times H$:

$$P_b = 3 \cdot a \cdot H = 3aH$$

d) Pole powierzchni całkowitej:

$$P_c = 2P_p + P_b = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + 3aH = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3aH$$

To najtrudniejsze zadanie w arkuszu za aż 4 punkty. Schemat oceniania przyznaje punkty za: (1) prawidłowe pole podstawy, (2) objętość, (3) pole boczne, (4) pole całkowite. Nawet jeśli nie rozwiążesz całości, obliczenie samego pola podstawy daje Ci punkt cząstkowy. Przeczytaj przewodnik po stereometrii na maturze, żeby przećwiczyć wszystkie typy brył.

Najczęstsze błędy w tym zadaniu:

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 38 - Prawdopodobieństwo (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek jest większa od 10.

Rozwiązanie:

Przestrzeń zdarzeń elementarnych: Każdy rzut ma 6 wyników, więc $|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$ par.

Suma oczek większa od 10 oznacza sumę 11 lub 12 (bo maksymalna suma to $6 + 6 = 12$).

Suma = 11: pary $(5, 6)$ i $(6, 5)$ - 2 zdarzenia sprzyjające.

Suma = 12: para $(6, 6)$ - 1 zdarzenie sprzyjające.

Łącznie: $|A| = 2 + 1 = 3$

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$$

Odpowiedź: $P = \frac{1}{12}$

Przy rzutach kostką kluczowe jest systematyczne wypisanie par. Nigdy nie zgaduj i nie licz "na oko" - zawsze wypisz wszystkie zdarzenia sprzyjające. Zwróć uwagę, że $(5, 6)$ i $(6, 5)$ to dwa różne zdarzenia (kolejność ma znaczenie, bo rzuty są numerowane). Więcej ćwiczeń z prawdopodobieństwa i kombinatoryki na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 40 - Funkcja kwadratowa, optymalizacja (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Hotel ustala cenę pokoju. Przy cenie 200 zł za noc wszystkie 80 pokoi jest zajętych. Każda podwyżka o 10 zł powoduje, że 2 pokoje zostają puste. Jaka cena daje hotelowi największy przychód?

Rozwiązanie:

Oznaczmy liczbę podwyżek (po 10 zł każda) jako $n$, gdzie $n \geq 0$.

Przychód to iloczyn ceny i liczby zajętych pokoi:

$$P(n) = (200 + 10n)(80 - 2n)$$

Rozwijamy:

$$P(n) = 16000 - 400n + 800n - 20n^2 = -20n^2 + 400n + 16000$$

To funkcja kwadratowa z $a = -20 < 0$, więc ma maksimum w wierzchołku. Współrzędna $n$ wierzchołka:

$$n_w = \frac{-b}{2a} = \frac{-400}{2 \cdot (-20)} = \frac{-400}{-40} = 10$$

Optymalna cena:

$$200 + 10 \cdot 10 = 300 \text{ zł}$$

Maksymalny przychód:

$$P(10) = (300)(80 - 20) = 300 \cdot 60 = 18\,000 \text{ zł}$$

Odpowiedź: Największy przychód daje cena 300 zł za noc (przychód 18 000 zł).

Zadania optymalizacyjne to jeden z najczęstszych typów otwartych zadań za 2-3 punkty. Schemat jest zawsze taki sam: (1) wprowadź zmienną, (2) zapisz funkcję celu jako iloczyn, (3) rozwiń do postaci kwadratowej, (4) znajdź wierzchołek. Przeczytaj przewodnik po funkcji kwadratowej, żeby przećwiczyć ten schemat na kolejnych przykładach.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 36 zadań z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-5 pkt):

Co warto powtórzyć po tym arkuszu

Na podstawie analizy tego arkusza, oto priorytety do powtórki:

1. Potęgi i pierwiastki - sprowadzanie do wspólnej podstawy, wyciąganie przed nawias, upraszczanie. To 10 punktów, czyli 20% arkusza. Bez biegłości w potęgach nie zdasz matury. Ćwicz potęgi
2. Równania wymierne - zawsze pamiętaj o dziedzinie, szukaj faktoryzacji mianowników. Ćwicz równania
3. Stereometria - wzory na objętość i pole graniastosłupa prawidłowego, stożka, ostrosłupa. Ćwicz stereometrię
4. Optymalizacja - schemat: funkcja celu, postać kwadratowa, wierzchołek
5. Dowody podzielności - wyciąganie wspólnego czynnika, sprowadzanie do potęg o tej samej podstawie

Strategia na maturę poprawkową

Jeśli podchodzisz do matury poprawkowej, masz przewagę: znasz arkusze z maja i czerwca. Skup się na:

Przygotowujesz się do matury? Rozwiąż cały arkusz interaktywnie na Sprawnej Maturze - mamy 2438 zadań z prawdziwych arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Możesz też spróbować losowego zadania, żeby sprawdzić swoją wiedzę z różnych kategorii. Jeśli chcesz dostęp do pełnych rozwiązań wszystkich zadań, sprawdź nasz plan premium.