W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg O o równaniu O: (x-1)²+(y+3)²=4 Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Okrąg O nie ma punktów wspólnych z osią Ox układu współrzędnych. P F Okrąg O ma z osią Oy układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne. P F
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: PP
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2025-34.png]
Krok 2. Odczytanie współrzędnych środka okręgu i promienia okręgu.
Okrąg o środku w punkcie S=x_S, y_S i promieniu r możemy opisać równaniem:
(x-x_S)²+(y-y_S)²=r²
W takim razie możemy z treści zadania odczytać współrzędne środka okręgu O:
(x-1)²+(y+3)²=4 (x-1)²+(y-(-3))²=2²
Widzimy wyraźnie, że środkiem będzie punkt S=(1,-3), z kolei promień okręgu jest równy r=2. Nasz okrąg widać na rysunku pomocniczym w kroku 1.
Krok 3. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Skoro współrzędna y środka okręgu jest równa -3, a promień okręgu to r=2, to okrąg "nie dojdzie" do osi Ox, stąd też nie będzie miał on z tą osią punktów wspólnych, co widać zresztą na rysunku. Zdanie jest więc prawdą.
Krok 4. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Na rysunku pomocniczym bardzo dobrze widać, że ten okrąg będzie miał rzeczywiście dwa punkty wspólne z osią Oy, zatem zdanie jest prawdą.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.