Funkcja f jest określona następująco: f(x)= -2x-10 dla x ∈ (-5,-3], x-1 dla x ∈ (-3,4]. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. a) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Miejscem zerowym funkcji f jest liczba ……… . 2. Wartość wyrażenia f(-2)+3 · f(2) jest równa ……… . b) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział ………………… . 2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x) < -2 jest przedział ………………… .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) 1. Miejscem zerowym funkcji f jest liczba 1.2. Wartość wyrażenia f(-2)+3 · f(2) jest równa 0. b) 1. ⟨-4,3⟩2. (-4,-1)
a) Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Miejsce zerowe to taki argument x, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą 0. Zerkamy więc na wykres i sprawdzamy, dla jakiego argumentu następuje taka sytuacja i widzimy, że jedynym miejscem zerowym tej funkcji będzie liczba 1.
Możemy to potwierdzić obliczeniowo. Dla x ∈ (-3, 4] mamy f(x) = x - 1, więc f(x) = 0 gdy x - 1 = 0, czyli x = 1. Dla pierwszego przedziału f(x) = -2x - 10 = 0 daje x = -5, ale punkt x = -5 nie należy do dziedziny (przedział jest otwarty).
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Wyrażenie wygląda dość nietypowo, ale tak naprawdę idea zadania polega na tym, by z wykresu odczytać jaka jest wartość f(-2) oraz f(2) (czyli jakie wartości przyjmuje funkcja dla argumentów x=-2 oraz x=2), a następnie by podstawić te wartości do wyrażenia. Z wykresu odczytujemy, że f(-2)=-3, natomiast f(2)=1. W związku z tym wartość tego wyrażenia będzie równa:
-3+3 · 1=-3+3=0
b) Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości od -4 aż do 3 włącznie, zatem zbiorem wartości będzie przedział [-4,3].
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Chcemy się dowiedzieć dla jakich argumentów x funkcja przyjmuje wartości mniejsze niż -2. Zerkamy więc na wykres i widzimy, że dzieje się tak dla argumentów z przedziału (-4,-1). Nawiasy dajemy tutaj otwarte, ponieważ dla tych krańcowych wartości przyjmowana wartość jest równa dokładnie -2, a miała być mniejsza niż -2.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.