Hotel ma do dyspozycji gości 80 pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że: przy wyjściowej cenie wynoszącej 120 zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte każdy wzrost ceny za dobę hotelową o 5 zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o 1. Przyjmijmy, że dobowy przychód P hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o 5x złotych, opisuje funkcja P(x)=(80-x)(120+5x) gdzie x jest liczbą całkowitą spełniającą warunki x ≥ 0 i x ≤ 80. Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 260
Krok 1. Ustalenie, kiedy dzienny przychód będzie największy.
P(x) jest funkcją kwadratową, która jest zapisana w postaci iloczynowej P(x)=(80-x)(120+5x). Wykres tej funkcji będzie parabolą z ramionami skierowanymi do dołu (dobrze to widać w momencie, gdy wymnożymy przez siebie nawiasy - otrzymalibyśmy wtedy postać ogólną, w której na początku znajdzie się -x²). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku.
Musimy więc ustalić jaka jest pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, czyli musimy obliczyć p. Mamy tak naprawdę dwie możliwości. Możemy wymnożyć przez siebie te dwa nawiasy, uporządkować cały zapis do postaci ogólnej i z niej wyliczyć tę współrzędną za pomocą wzoru p=-b/(2a). Ale możemy postąpić jeszcze sprytniej - z postaci iloczynowej bardzo łatwo możemy wyznaczyć miejsca zerowe tej funkcji (wystarczy przyrównać nawiasy do zera), a z własności parabol wiemy, że współrzędna p będzie średnią arytmetyczną tych miejsc zerowych. I zastosujmy może to drugie podejście skoro jest taka okazja.
Obliczmy zatem miejsca zerowe, czyli sprawdźmy, kiedy (80-x)(120+5x)=0. Jest to równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, więc przyrównujemy nawiasy do zera:
80-x=0 120+5x=0 x=80 5x=-120 x=80 x=-24
Tym samym współrzędna p wierzchołka paraboli będzie równa:
p=(80+(-24))/2 p=56/2 p=28
To oznacza, że przychód będzie największy, gdy x=28.
Krok 2. Usalenie ceny wynajęcia jednoosobowego pokoju.
Wiemy już, że przychód będzie największy, gdy hotel wykona 28 podwyżek o 5 zł (czyli obrazowo rzecz ujmując, gdy hotel zostawi 28 pokoi pustych). Każdy niewynajęty pokój zwiększa cenę za dobę hotelową o 5 zł, zatem ta cena powinna wzrosnąć o:
28 · 5=140 zł
Cena wyjściowa wynosiła 120 zł, zatem ostateczna cena wynajęcia pokoju powinna wynieść:
120zł+140zł=260zł
Procenty: Obliczenia procentowe, punkty procentowe, podwyżki i obniżki cen, procent składany oraz zadania o lokatach i podatkach.