Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=1/2 x²+bx+c, gdzie b oraz c są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 6. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu x=1 jest osią symetrii wykresu funkcji f. a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja f jest określona wzorem A. f(x)=1/2(x-4)(x-6) B. f(x)=1/2(x-4)(x+6) C. f(x)=1/2(x+4)(x-6) D. f(x)=1/2(x+4)(x+6) b) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Współczynnik b we wzorze funkcji f jest liczbą dodatnią. P F Współczynnik c we wzorze funkcji f jest liczbą dodatnią. P F c) Funkcja g jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem g(x)=f(x-3). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu A. x=-2 B. x=1 C. x=3 D. x=4
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) C b) FF c) D
a) Oś symetrii znajduje się zawsze w jednakowej odległości od miejsc zerowych. Skoro więc jednym z miejsc zerowych jest liczba 6, a prosta x=1 jest osią symetrii (czyli jest ona oddalona o 5 jednostek), to możemy wywnioskować, że drugim miejscem zerowym będzie x=-4, ponieważ -4+5=1. Znając miejsca zerowe możemy przystąpić do zapisania wzoru w postaci iloczynowej typu f(x)=a(x-x₁)(x-x₂). Wartość współczynnika a jest znana i wynosi ona 1/2, zatem znając miejsca zerowe możemy stwierdzić, że nasza funkcja jest określona wzorem:
f(x)=1/2(x-(-4))(x-6) f(x)=1/2(x+4)(x-6)
b) Krok 1. Zapisanie wzoru w postaci ogólnej.
Aby poznać odpowiedzi do tego zadania, musimy przekształcić wzór funkcji w postaci iloczynowej z poprzedniego podpunktu. Wymnażając przez siebie nawiasy, otrzymamy:
f(x)=1/2(x+4)(x-6) f(x)=1/2(x²-6x+4x-24) f(x)=1/2(x²-2x-24) f(x)=1/2 x²-x-12
Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Współczynnik b=-1, czyli jest ujemny, zatem zdanie jest fałszem.
Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Współczynnik c=-12, czyli jest ujemny, zatem zdanie jest fałszem.
c) Ze wzoru g(x)=f(x-3) wynika, że funkcja g(x) powstała w wyniku przesunięcia funkcji f(x) o 3 jednostki w prawo. Tym samym przesunięta w prawo będzie też oś symetrii. Możemy zatem wywnioskować, że osią symetrii wykresu funkcji g będzie x=4.
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.