Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie S i o promieniu 36. Punkt S leży na odcinku BD. Kąt BDA ma miarę 40°, a kąt DBC ma miarę 65° (zobacz rysunek). a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego BSA jest równa A. 20° B. 40° C. 50° D. 80° b) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość łuku BC, na którym jest oparty kąt wpisany CDB, jest równa A. 8π B. 10π C. 13π D. 20π
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) D b) B
a) Kąt środkowy BSA jest oparty na tym samym łuku, co kąt wpisany ADB o mierze 40°. Z własności kątów środkowych wiemy, że w takim razie miara tego środkowego kąta będzie dwa razy większa od miary kąta wpisanego, zatem:
|∢BSA|=2 · 40°=80°
b) Krok 1. Obliczenie obwodu okręgu.
Z rysunku możemy odczytać iż promień okręgu ma długość r=36. Korzystając zatem ze wzoru na obwód okręgu, możemy zapisać, że:
Obw=2πr Obw=2π · 36 Obw=72π
Krok 2. Obliczenie miary kąta środkowego BSC.
Spójrzmy na trójkąt BCD. Jeden z jego boków pokrywa się ze średnicą okręgu, a to z kolei oznacza, iż jest to trójkąt prostokątny. Skoro tak, to kąt wpisany BDC będzie miał miarę:
|∢BDC|=180°-90°-65°=25°
Tym samym kąt środkowy BSC, oparty na tym samym łuku co kąt BDC, będzie miał miarę:
|∢BSC|=2 · 25°=50°
Krok 3. Obliczenie długości łuku BC.
Kiedy znamy miarę kąta środkowego, który jest oparty na łuku BC, możemy stwierdzić, że łuk BC będzie stanowił 50/360 długości obwodu okręgu. Skoro tak, to:
BC=50/360 · 72π BC=10π
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.