Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF. Wysokość podstawy ABC jest równa 2√(3). Przekątna AE ściany bocznej ABED tworzy z krawędzią AB kąt o mierze 60° (zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=48, P_c=56√(3)
Krok 1. Oblicznie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to graniatosłup prawidłowy trójkątny, to wiemy iż w jego podstawie znajduje się trójkąt równoboczny. Z rysunku wynika, że ten trójkąt ma wysokość równą 2√(3). Korzystając zatem ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, możemy zapisać, że:
h=a√(3)/2 2√(3)=a√(3)/2 4√(3)=a√(3) a=4
Krok 2. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny ABE. Jest to trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°. Obliczyliśmy przed chwilą, że ta dolna przyprostokątna ma długość 4, zatem korzystając z własności tego trójkąta możemy stwierdzić, że ta dłuższa przyprostokątna będzie mieć długość √(3) razy większą, czyli że tym samym H=4√(3).
Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie znajduje się trójkąt równoboczny o boku a=4, zatem korzystając ze wzoru na pole takiego trójkąta możemy stwierdzić, że:
P_p=a²√(3)/4 P_p=4²√(3)/4 P_p=16√(3)/4 P_p=4√(3)
Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa, możemy zapisać, że:
V=P_p · H V=4√(3) · 4√(3) V=16 · 3 V=48
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Na pole powierzchni całkowitej składają się dwa pola podstawy oraz trzy ściany boczne, które są prostokątami o bokach 4 × 4√(3). Skoro tak, to:
P_c=2 · 4√(3)+3 · 4 · 4√(3) P_c=8√(3)+48√(3) P_c=56√(3)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.