Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD takich, że |AB|=2 · |CD|. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E (zobacz rysunek). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Pola trójkątów BCE oraz AED są równe. P F Pole trójkąta ABE jest dwa razy większe od pola trójkąta CDE. P F
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: PF
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Spójrzmy na trójkąty ACD oraz BCD. Obydwa te trójkąty mają jednakową podstawę CD i mają tą samą wysokość. To prowadzi nas do wniosku, że tym samym pola tych dwóch trójkątów muszą być jednakowe. Skoro tak, to moglibyśmy zauważyć, że na pole trójkąta ACD składają się pola dwóch trójkątów, czyli AED oraz ECD, z kolei na pole trójkąta BCD składa się pole trójkąta BCD oraz ponownie ECD. Moglibyśmy więc ułożyć równanie:
P_(ACD)=P_(BCD) P_(AED)+P_(ECD)=P_(BCD)+P_(ECD) P_(AED)=P_(BCD)
Zdanie jest więc prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Trójkąty ABE oraz CDE są trójkątami podobnymi (wynika to z cechy kąt-kąt-kąt). Skoro bok AB jest 2 razy dłuższy od boku CD, to moglibyśmy ustalić, że skala podobieństwa tych trójkątów wynosi k=2. Z własności trójkątów podobnych wiemy, że gdy trójkąt ma boki k razy większe, to pole tego trójkąta będzie k² razy większe. Tym samym moglibyśmy stwierdzić, że pole trójkąta ABE będzie 4 razy większe, zatem zdanie jest fałszem.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.