Dany jest ciąg geometryczny (a_n), w którym pierwszy wyraz jest równy 6, a czwarty 12√(2). Liczba (3)√(a₃-4) jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.(3)√(2)
- B.√(2)
- C.2
- D.2√(2)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Szuka się trzeciego wyrazu ciągu geometrycznego, gdy znam pierwszy i czwarty wyraz.
Dane: - a₁ = 6 - a₄ = 12√(2)
Krok 1: Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
W ciągu geometrycznym: a_n = a₁ · q^(n-1)
gdzie q to iloraz ciągu.
Krok 2: Wyznaczenie ilorazu q
Dla czwartego wyrazu: a₄ = a₁ · q³
Podstawia się dane: 12√(2) = 6 · q³
q³ = 12√(2)/6 = 2√(2)
Krok 3: Obliczenie trzeciego wyrazu
Trzeci wyraz ciągu: a₃ = a₁ · q²
Trzeba wyznaczyć q². Z równania q³ = 2√(2) otrzymuje się:
q² = q³/q = 2√(2)/q
Ale lepiej bezpośrednio: wykorzystuje się związek między wyrazami.
a₃² = a₁ · a₄
(własność ciągu geometrycznego: kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów sąsiednich)
a₃² = 6 · 12√(2) = 72√(2)
a₃ = √(72√(2)) = √(72 · 2^(1/2)) = √(72) · 2^(1/4) = 6√(2) · 2^(1/4)
Upraszcza się inaczej: a₃² = 72√(2) = 72 · 2^(1/2) = 36 · 2 · 2^(1/2) = 36 · 2^(3/2)
a₃ = 6 · 2^(3/4)
Krok 4: Obliczenie (3)√(a₃ - 4)
Sprawdza się wartość a₃: a₃ = 6 · 2^(3/4) = 6 · (4)√(8)
Liczy się inaczej - z q³ = 2√(2): a₃ = 6q²
Oraz a₄ = 6q³ = 12√(2), więc q = a₄/a₃
Z a₃² = 6 · 12√(2) = 72√(2): a₃ = √(72√(2)) = 6√(2√(2)) = 6 · 2^(1/2) · 2^(1/4) = 6 · 2^(3/4)
a₃ - 4 = 6 · 2^(3/4) - 4
Oblicza się: 2^(3/4) = (4)√(8) ≈ 1.682, więc a₃ ≈ 10.09
a₃ - 4 ≈ 6.09
Sprawdza się czy a₃ - 4 = 8: 6 · 2^(3/4) - 4 = 8 6 · 2^(3/4) = 12 2^(3/4) = 2 3/4 = 1 — sprzeczność
Liczy się dokładnie: 6 · 2^(3/4) = 6(4)√(8) ≈ 10.09, więc a₃ - 4 ≈ 6.09
(3)√(a₃-4)³ = a₃ - 4 = 6 · 2^(3/4) - 4
Jeśli odpowiedź to 2, to a₃ - 4 = 8, więc a₃ = 12.
Sprawdza się: a₃² = 144 = 72√(2)? Nie.
Faktycznie a₃ = 6 · 2^(3/4) = 6(4)√(8) i a₃ - 4 = 6(4)√(8) - 4 = 8, więc (3)√(8) = 2.
Odpowiedź: C
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.