Ciąg (a_n) jest geometryczny oraz a₁=2, a₂=6. Liczby a₃, x, x/2 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz x.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x=12
Wyznacza się iloraz ciągu geometrycznego.
Dla ciągu geometrycznego (a_n) mamy a_n = a₁ · q^(n-1), gdzie q to iloraz.
Z danych a₁ = 2 i a₂ = 6:
a₂ = a₁ · q
6 = 2 · q
q = 3
Oblicza się a₃.
a₃ = a₁ · q² = 2 · 3² = 2 · 9 = 18
Wykorzystuje się warunek ciągu arytmetycznego.
Liczby a₃, x, x/2 tworzą ciąg arytmetyczny, więc różnica między kolejnymi wyrazami musi być stała:
x - a₃ = x/2 - x
Podstawia się a₃ = 18:
x - 18 = x/2 - x
x - 18 = x/2 - 2x/2
x - 18 = -x/2
Mnoży się obie strony przez 2:
2x - 36 = -x
2x + x = 36
3x = 36
x = 12
Sprawdza się poprawność.
Ciąg: 18, 12, 6
Różnice: 12 - 18 = -6 oraz 6 - 12 = -6 ✓
Różnice są równe, więc ciąg jest arytmetyczny.
Odpowiedź: x = 12
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.