W kulę o promieniu 5 wpisano stożek o kącie rozwarcia 90° . Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P=25π(1+√(2))
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-kwiecie-2015-22.png]
## Ustalenie układu współrzędnych i konfiguracji
Umieszczamy środek kuli w początku układu współrzędnych. Kula ma promień R = 5.
Stożek wpisany w kulę ma wierzchołek i brzeg podstawy na powierzchni kuli. Kąt rozwarcia stożka to 90°, czyli kąt między tworzącymi wychodzącymi z wierzchołka wynosi 90°.
## Analiza kąta rozwarcia
Kąt rozwarcia 90° oznacza, że kąt między osią stożka a tworzącą wynosi: α= 90°/2 = 45°
## Wyznaczenie wymiarów stożka
Umieśćmy wierzchołek stożka w punkcie (0, 0, h) na kuli, gdzie h > 0. Podstawa stożka leży w płaszczyźnie z = -v dla pewnego v > 0.
Ponieważ wierzchołek leży na kuli: h² = 25 h = 5
Wysokość stożka: H = h + v = 5 + v
Promień podstawy stożka: r (okrąg w płaszczyźnie z = -v)
Z warunku, że brzeg podstawy leży na kuli: r² + v² = 25
Z zależności geometrycznej dla kąta α= 45°: tan(45°) = r/H = r/(5+v)
Ponieważ tan(45°) = 1: r = 5 + v
## Rozwiązanie układu równań
Mamy układ: r² + v² = 25 r = 5 + v Podstawiając drugie równanie do pierwszego: (5+v)² + v² = 25 25 + 10v + v² + v² = 25 2v² + 10v = 0 2v(v + 5) = 0 Stąd v = 0 lub v = -5. Ponieważ v > 0 dla sensownej konfiguracji, przyjmujemy v = 0 (stożek "płaski") nie jest możliwe. Poprawna interpretacja: v = 5, wtedy: r = 5 + 5 = 10 — niemożliwe, bo r² + v² = 100 + 25 = 125 ≠ 25 ## Korekta podejścia Rozważmy r = |5 + v|. Dla v = -5: nie ma sensu fizycznego. Prawidłowo: z 2v² + 10v = 0 mamy v = 0 (zdegenerowany) lub inaczej... Sprawdźmy: jeśli H = r (z tan 45° = 1): H = r r² + (5-H)² = 25 H² + 25 - 10H + H² = 25 2H² = 10H H = 5 Zatem r = 5, H = 5. ## Obliczenie tworzącej l = √(r² + H²) = √(25 + 25) = 5√(2) ## Pole powierzchni całkowitej P = πr² + πr l = πr(r + l) P = π · 5(5 + 5√(2)) = 5π(5 + 5√(2)) P = 25π(1 + √(2)) Odpowiedź: P = 25π(1 + √(2))
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.