Długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego są równe 4 i 6. Środkowa tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość
Odpowiedzi do wyboru
- A.√(13)
- B.√(52)
- C.5
- D.2
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-kwiecie-2015-11.png]
Dane są długości przyprostokątnych: a = 4 i b = 6.
Krok 2: Obliczenie długości przeciwprostokątnej
Z twierdzenia Pitagorasa: c = √(a² + b²) = √(4² + 6²) = √(16 + 36) = √(52)
Krok 3: Wykorzystanie własności środkowej z wierzchołka kąta prostego
Istnieje ważna własność trójkąta prostokątnego: środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej ma długość równą połowie długości przeciwprostokątnej.
Oznaczmy przez m długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego. Wtedy: m = c/2
Krok 4: Obliczenie długości środkowej
m = √(52)/2 = √(4 · 13)/2 = 2√(13)/2 = √(13)
Alternatywnie (układ współrzędnych):
Umieśćmy wierzchołek kąta prostego w punkcie C = (0, 0), a pozostałe wierzchołki w punktach A = (4, 0) i B = (0, 6).
Środek przeciwprostokątnej AB: S = ((4+0)/2, (0+6)/2) = (2, 3)
Długość środkowej CS: m = √((2-0)² + (3-0)²) = √(4 + 9) = √(13)
Odpowiedź: A
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.