Wyznacz wszystkie parametry m dla których proste y=(m²+1)x-3 oraz y=-1/3 x+2m są prostopadłe.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: m=√(2) lub m=-√(2)
Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1.
Krok 1: Wyznaczenie współczynników kierunkowych
Dla prostej y = (m²+1)x - 3: a₁ = m² + 1
Dla prostej y = -1/3 x + 2m: a₂ = -1/3
Krok 2: Warunek prostopadłości
Proste są prostopadłe, gdy: a₁ · a₂ = -1
Podstawiamy: (m² + 1) · (-1/3) = -1
Krok 3: Rozwiązanie równania
-(m² + 1)/3 = -1
Mnożymy obie strony przez -3: m² + 1 = 3
m² = 2
m = √(2) lub m = -√(2)
Krok 4: Sprawdzenie
Dla m = √(2): a₁ = 2 + 1 = 3, więc 3 · (-1/3) = -1 ✓
Dla m = -√(2): a₁ = 2 + 1 = 3, więc 3 · (-1/3) = -1 ✓
Odpowiedź: m = √(2) lub m = -√(2)
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.