Wyrazami ciągu arytmetycznego (a_n) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2. Ponadto a₃ = 12. Oblicz a₁₅.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a₁₅=72
Określmy warunki zadania: - Wyrazy ciągu to liczby naturalne dające resztę 2 przy dzieleniu przez 5 - Ciąg jest arytmetyczny - a₃ = 12
Krok 1: Znajdźmy postać ogólną wyrazów ciągu
Liczby naturalne dające resztę 2 przy dzieleniu przez 5 to: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, ...
Każda taka liczba ma postać a_n = 5k + 2, gdzie k ∈ {0, 1, 2, 3, ...}
Krok 2: Sprawdźmy różnicę ciągu
Kolejne wyrazy różnią się o 5: 7 - 2 = 5, 12 - 7 = 5, 17 - 12 = 5
Zatem różnica ciągu arytmetycznego wynosi r = 5
Krok 3: Znajdźmy pierwszy wyraz
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: a_n = a₁ + (n-1) · r
Dla n = 3: a₃ = a₁ + 2r 12 = a₁ + 2 · 5 12 = a₁ + 10 a₁ = 2
Krok 4: Obliczmy a₁₅
a₁₅ = a₁ + (15-1) · r a₁₅ = 2 + 14 · 5 a₁₅ = 2 + 70 a₁₅ = 72
Sprawdzenie: 72 = 5 · 14 + 2, więc rzeczywiście daje resztę 2 przy dzieleniu przez 5 ✓
Odpowiedź: a₁₅ = 72
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.