O pewnym ciągu arytmetycznym wiadomo, że ma dziesięć wyrazów. Suma jego wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 75, a suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 90. Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a₁=3
Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu przez a₁, a różnicę ciągu przez r.
Krok 1: Wypisanie wyrazów ciągu
Ciąg ma 10 wyrazów: - Wyrazy o numerach nieparzystych: a₁, a₃, a₅, a₇, a₉ - Wyrazy o numerach parzystych: a₂, a₄, a₆, a₈, a₁₀
Krok 2: Wyrażenie wyrazów przez a₁ i r
Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego a_n = a₁ + (n-1)r:
Wyrazy nieparzyste: - a₁ = a₁ - a₃ = a₁ + 2r - a₅ = a₁ + 4r - a₇ = a₁ + 6r - a₉ = a₁ + 8r
Wyrazy parzyste: - a₂ = a₁ + r - a₄ = a₁ + 3r - a₆ = a₁ + 5r - a₈ = a₁ + 7r - a₁₀ = a₁ + 9r
Krok 3: Zapisanie sum
Suma wyrazów nieparzystych: a₁ + a₃ + a₅ + a₇ + a₉ = a₁ + (a₁ + 2r) + (a₁ + 4r) + (a₁ + 6r) + (a₁ + 8r) = 5a₁ + 20r = 75
Suma wyrazów parzystych: a₂ + a₄ + a₆ + a₈ + a₁₀ = (a₁ + r) + (a₁ + 3r) + (a₁ + 5r) + (a₁ + 7r) + (a₁ + 9r) = 5a₁ + 25r = 90
Krok 4: Układ równań
Otrzymujemy układ: 5a₁ + 20r = 75 5a₁ + 25r = 90 Krok 5: Rozwiązanie układu Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: (5a₁ + 25r) - (5a₁ + 20r) = 90 - 75 5r = 15 r = 3 Podstawiamy r = 3 do pierwszego równania: 5a₁ + 20 · 3 = 75 5a₁ + 60 = 75 5a₁ = 15 a₁ = 3 Odpowiedź: Pierwszy wyraz ciągu wynosi a₁ = 3.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.