Proste DE i CB oraz EF i AC są równoległe. Oblicz długość odcinka EB, jeżeli AE = 2,5 , DE = 3 oraz FB=4.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: |EB|=10/3
Mamy trapez lub układ odcinków z równoległymi bokami.
Analiza danych: - DE ∥ CB - EF ∥ AC - AE = 2,5 - DE = 3 - FB = 4 - Szukamy: |EB|
Krok 1: Ustalenie konfiguracji
Ponieważ EF ∥ AC, to z twierdzenia Talesa dla trójkąta ABC (gdzie E leży na AB, a F na BC) mamy:
AE/EB = AF/FC
Krok 2: Wykorzystanie warunku DE ∥ CB
Ponieważ DE ∥ CB, punkt D leży na AC, a E na AB, więc z twierdzenia Talesa dla trójkąta ABC:
AD/DC = AE/EB
oraz
DE/CB = AE/AB
Krok 3: Analiza punktu F
Skoro EF ∥ AC, to F leży na BC i:
EF/AC = BE/BA
Krok 4: Wykorzystanie długości DE = 3 i FB = 4
Z podobieństwa trójkątów ADE i ABC (bo DE ∥ CB):
DE/CB = AE/AB = AE/(AE + EB) = 2,5/(2,5 + EB)
Z podobieństwa trójkątów BEF i BAC (bo EF ∥ AC):
EF/AC = BF/BC = BE/BA
oraz
BF/BC = BE/BA
4/BC = EB/(2,5 + EB)
Krok 5: Połączenie warunków
Z warunku DE ∥ CB: DE/CB = 2,5/(2,5 + EB)
CB = 3(2,5 + EB)/2,5 = (3 · 2,5 + 3 · EB)/2,5 = 3 + 3 · EB/2,5
Z warunku EF ∥ AC: BC = 4(2,5 + EB)/EB = (10 + 4 · EB)/EB
Krok 6: Przyrównanie wyrażeń na BC
3 + 3 · EB/2,5 = (10 + 4 · EB)/EB
3 + 6 · EB/5 = 10/EB + 4
6 · EB/5 = 10/EB + 1
6 · EB²/5 = 10 + EB
6 · EB² = 50 + 5 · EB
6 · EB² - 5 · EB - 50 = 0
Krok 7: Rozwiązanie równania kwadratowego
EB = (5 ± √(25 + 1200))/12 = (5 ± √(1225))/12 = (5 ± 35)/12
Przyjmując rozwiązanie dodatnie:
EB = 40/12 = 10/3
Odpowiedź: |EB| = 10/3
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.