Wyznacz współrzędne punktu A', który jest symetryczny do punktu A = (3, 2) względem prostej y=-1/3 x-6.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B=(-2 4/10; -14 2/10)
Szukamy punktu A' = (x', y') symetrycznego do A = (3, 2) względem prostej l: y = -1/3 x - 6.
## Krok 1: Znajdź prostą prostopadłą przechodzącą przez punkt A
Prosta l ma współczynnik kierunkowy a_l = -1/3.
Prosta prostopadła p ma współczynnik kierunkowy: a_p = -1/a_l = -1/(-1/3) = 3
Prosta p przechodzi przez A = (3, 2): y - 2 = 3(x - 3) y = 3x - 9 + 2 y = 3x - 7
## Krok 2: Znajdź punkt przecięcia prostych l i p
Punkt przecięcia S (środek odcinka AA'): 3x - 7 = -1/3 x - 6 3x + 1/3 x = -6 + 7 (9x + x)/3 = 1 10x = 3 x_S = 3/10
Podstawiamy do równania prostej p: y_S = 3 · 3/10 - 7 = 9/10 - 7 = (9 - 70)/10 = -61/10
Zatem S = (3/10, -61/10).
## Krok 3: Wyznacz współrzędne punktu A'
Punkt S jest środkiem odcinka AA', więc: S = (A + A')/2
Dla współrzędnej x: 3/10 = (3 + x')/2 3/5 = 3 + x' x' = 3/5 - 3 = (3 - 15)/5 = -12/5
Dla współrzędnej y: -61/10 = (2 + y')/2 -61/5 = 2 + y' y' = -61/5 - 2 = (-61 - 10)/5 = -71/5
## Odpowiedź
A' = (-12/5, -71/5) = (-2 2/5, -14 1/5) = (-2,4, -14,2)
W zapisie dziesiętnym: A' = (-2,4; -14,2) lub A' = (-2 4/10; -14 2/10)
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.