Wykaż, że wysokość CD trójkąta prostokątnego ABC poprowadzona z wierzchołka C kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki AD i DB, których stosunek długości jest równy stosunkowi kwadratów długości przyprostokątnych odpowiednio AC i BC tego trójkąta.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2013-27.png]
Rozważamy trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy wierzchołku C. Wysokość CD opuszczona z wierzchołka C na przeciwprostokątną AB dzieli ją na odcinki AD i DB.
Krok 2: Identyfikacja trójkątów podobnych
Wysokość w trójkącie prostokątnym opuszczona na przeciwprostokątną tworzy dwa trójkąty podobne do trójkąta wyjściowego: - △ACD △ABC - △BCD △BAC
Krok 3: Podobieństwo △ACD △CAB
Z podobieństwa △ACD △CAB mamy: AD/AC = AC/AB
Stąd: AD = AC²/AB
Krok 4: Podobieństwo △BCD △CBA
Z podobieństwa △BCD △CBA mamy: BD/BC = BC/BA
Stąd: BD = BC²/AB
Krok 5: Obliczenie stosunku AD/DB
Dzieląc stronami równania z kroków 2 i 3: AD/BD = AC²/AB/(BC²/AB) = AC²/AB · AB/BC² = AC²/BC²
Wniosek:
Wykazaliśmy, że: AD/DB = AC²/BC²
co oznacza, że stosunek długości odcinków AD i DB jest równy stosunkowi kwadratów długości przyprostokątnych AC i BC.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.