Krawędź sześcianu jest o 4 krótsza od jego przekątnej. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P_c=96+48√(3)
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2013-31.png]
Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez a.
Krok 2: Wyznaczenie długości przekątnej sześcianu
Przekątna sześcianu (przekątna przestrzenna) łączy dwa przeciwległe wierzchołki i przechodzi przez wnętrze bryły.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni trójwymiarowej, długość przekątnej sześcianu o krawędzi a wynosi:
d = a√(3)
Krok 3: Zapisanie warunku z treści zadania
Według treści zadania, krawędź jest o 4 krótsza od przekątnej:
d - a = 4
Podstawiamy wzór na przekątną:
a√(3) - a = 4
Krok 4: Rozwiązanie równania
Wyłączamy a przed nawias:
a(√(3) - 1) = 4
a = 4/(√(3) - 1)
Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone √(3) + 1:
a = 4(√(3) + 1)/((√(3) - 1)(√(3) + 1)) = 4(√(3) + 1)/(3 - 1) = 4(√(3) + 1)/2
a = 2(√(3) + 1) = 2√(3) + 2
Krok 5: Obliczenie pola powierzchni całkowitej
Sześcian ma 6 ścian, każda o polu a², zatem:
P_c = 6a²
Obliczamy a²:
a² = (2√(3) + 2)² = (2√(3))² + 2 · 2√(3) · 2 + 2²
a² = 12 + 8√(3) + 4 = 16 + 8√(3)
Zatem pole powierzchni całkowitej:
P_c = 6(16 + 8√(3)) = 96 + 48√(3)
Odpowiedź: P_c = 96 + 48√(3)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.