Uzasadnij, że równanie x²+(b-2)x-2b=0 dla dowolnej liczby rzeczywistej b ma przynajmniej jedno rozwiązanie.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEAby uzasadnić, że równanie ma przynajmniej jedno rozwiązanie dla dowolnej liczby rzeczywistej b, wystarczy pokazać, że wyróżnik tego równania jest nieujemny dla każdego b ∈ R.
Krok 1: Identyfikacja współczynników
Równanie kwadratowe ma postać ax² + bx + c = 0. W naszym przypadku: - a = 1 - współczynnik przy x: b-2 - wyraz wolny: -2b
Krok 2: Obliczenie wyróżnika
Wyróżnik dla równania kwadratowego to Δ= B² - 4AC, gdzie B to współczynnik przy x, a C to wyraz wolny.
Δ= (b-2)² - 4 · 1 · (-2b)
Δ= (b-2)² + 8b
Krok 3: Rozwinięcie wyrażenia
Δ= b² - 4b + 4 + 8b
Δ= b² + 4b + 4
Krok 4: Rozpoznanie kwadratu sumy
Zauważamy, że:
Δ= (b+2)²
Krok 5: Wnioskowanie
Ponieważ (b+2)² ≥ 0 dla każdej liczby rzeczywistej b, mamy Δ ≥ 0 dla każdego b ∈ R.
Wniosek:
Wyróżnik równania jest nieujemny dla dowolnej wartości b, co oznacza, że równanie ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste (dwa rozwiązania gdy Δ> 0, czyli b ≠ -2, lub jedno podwójne gdy Δ= 0, czyli b = -2).
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.