Liczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93. Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz a, b i c.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a=3, b=15, c=75
Liczby a, b, c tworzą ciąg geometryczny o sumie 93 i jednocześnie są 1., 2. i 7. wyrazem ciągu arytmetycznego.
Krok 1: Warunki z ciągu geometrycznego
a + b + c = 93 (1) b² = ac (2)
Krok 2: Warunki z ciągu arytmetycznego
Jeśli a = a₁, b = a₂, c = a₇, to różnica ciągu arytmetycznego: r = b - a
Siódmy wyraz: a₇ = a₁ + 6r = a + 6(b - a) = 6b - 5a
Więc: c = 6b - 5a (3)
Krok 3: Rozwiązanie układu
Z (1) i (3): a + b + 6b - 5a = 93 -4a + 7b = 93 (4)
Z (4): a = (7b - 93)/4
Podstawiamy do (2): b² = ac, a z (3): c = 6b - 5a: b² = a(6b - 5a) = 6ab - 5a²
Podstawiamy a = (7b - 93)/4:
b² = 6 · (7b - 93)/4 · b - 5 · ((7b - 93)/4)²
b² = 6b(7b - 93)/4 - 5(7b - 93)²/16
Mnożymy przez 16: 16b² = 24b(7b - 93) - 5(7b - 93)² 16b² = 168b² - 2232b - 5(49b² - 1302b + 8649) 16b² = 168b² - 2232b - 245b² + 6510b - 43245 16b² = -77b² + 4278b - 43245 93b² - 4278b + 43245 = 0
Dzielimy przez 3: 31b² - 1426b + 14415 = 0
Δ= 1426² - 4 · 31 · 14415 = 2033476 - 1787460 = 246016 √(Δ) = 496
b = (1426 ± 496)/62
b₁ = 1922/62 = 31 lub b₂ = 930/62 = 15
Dla b = 15: a = (105 - 93)/4 = 3, c = 93 - 3 - 15 = 75
Sprawdzenie ciągu geometrycznego: 15/3 = 5, 75/15 = 5
Sprawdzenie ciągu arytmetycznego: r = 15 - 3 = 12, a₇ = 3 + 6 · 12 = 75
Dla b = 31: a = (217 - 93)/4 = 31, c = 93 - 31 - 31 = 31. Ciąg stały (31, 31, 31) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, ale iloraz q = 1, co daje trywialny przypadek. Sprawdzenie z treści: a + b + c = 93 , ale w kontekście zadania szukamy nietrivialnego rozwiązania.
Odpowiedź: a = 3, b = 15, c = 75
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.