Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla n ≥ 1, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek 6a₁-5a₂+a₃=0. Oblicz iloraz q tego ciągu należący do przedziału ⟨2√(2), 3√(2)⟩.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: q=3
Krok 1. Rozpisanie wyrażenia z treści zadania.
Z własności ciągów wiemy, że:
a₂=a₁ · q a₃=a₁ · q²
Podstawiając te dane do naszego równania 6a₁-5a₂+a₃=0 otrzymamy:
6a₁-5 · (a₁ · q)+a₁ · q²=0 6a₁-5a₁ · q+a₁ · q²=0
I teraz kluczowy moment zadania. Aby rozwiązać to równanie musimy wyłączyć a₁ przed nawias, otrzymując:
a₁ · (6-5q+q²)=0 /:a₁ 6-5q+q²=0 q²-5q+6=0
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
W trakcie obliczeń otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: a=1, b=-5, c=6
Δ=b²-4ac=(-5)²-4 · 1 · 6=25-24=1 √(Δ)=√(1)=1
q₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-(-5)-1)/(2 · 1)=(5-1)/2=4/2=2 q₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-(-5)+1)/(2 · 1)=(5+1)/2=6/2=3
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z treści zadania wynika, że q musi należeć do przedziału (2√(2), 3√(2)). Przyjmując przybliżenie √(2) ≈ 1,41 możemy założyć, że nasz iloraz q musi być większy od około 2,82 i mniejszy od 4,23. Taki warunek spełnia jedynie q=3 i to będzie nasza jedyna odpowiedź do tego zadania.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.