Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy √(7). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

W rysunku pomocniczym najważniejsze jest to, by zaznaczyć poprawnie kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Kiedy naniesiemy na rysunek dane z treści zadania, to otrzymamy taką oto sytuację:

Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie przede wszystkim niebieskiego trójkąta prostokątnego SOE w którym dolna przyprostokątna jest połową długości krawędzi podstawy, boczna przyprostokątna jest wysokością bryły, a przeciwprostokątna jest wysokością ściany bocznej.

Krok 2. Wprowadzenie oznaczeń, które wynikają z informacji na temat tangensa.

Spójrzmy na niebieski trójkąt prostokątny SOE. Wiemy, że tgα=√(7). Tangens jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α względem przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. I tu pojawia się problem, bo nie znamy ani jednej, ani drugiej długości. Zastanówmy się jednak co się musi stać, aby tangens naszego kąta α był równy √(7). Aby tak się stało, to przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α (czyli nasza wysokość ostrosłupa) musi być √(7) razy większa od przyprostokątnej leżącej przy kącie α. Jeżeli więc dolna przyprostokątna leżąca przy kącie α ma długość 1/2 a, to wtedy wysokość naszej bryły będzie miała długość √(7) · 1/2 a=a√(7)/2.

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.

Spójrzmy teraz na zielony trójkąt prostokątny SOC. Ten trójkąt w dolnej przyprostokątnej ma połowę długości przekątnej kwadratu, jego boczną przyprostokątną jest wysokość bryły, a przeciwprostokątną jest krawędź boczna o długości 6.

Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku a ma przekątną o długości a√(2), czyli przyprostokątna OC będzie mieć długość a√(2)/2. Wiemy też, że wysokość ostrosłupa jest równa H=a√(7)/2. Skoro tak, to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

(a√(2)/2)²+(a√(7)/2)²=6² 2a²/4+7a²/4=36 9a²/4=36 9a²=144 a²=16 a=4 a=-4

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam a=4.

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.

Wiemy, że ostrosłup ma długość H=a√(7)/2, zatem skoro a=4, to:

H=4√(7)/2=2√(7)

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.

Na koniec została już tylko formalność, bowiem skoro a=4 oraz H=2√(7), to objętość ostrosłupa będzie równa:

V=1/3 a² · H V=1/3 · 4² · 2√(7) V=1/3 · 16 · 2√(7) V=32√(7)/3