Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz |CE|=3/4|CD|. Punkt F leży na boku BC i odcinek EF jest prostopadły do BC (zobacz rysunek). Wykaż, że |CF|=9/16|CB|
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Rozpisanie długości odcinka CE
Z własności trójkątów równobocznych wiemy, że h=a√(3)/2. To z kolei oznacza, że |CD|=a√(3)/2. Z treści zadania wynika, że odcinek CE stanowi 3/4 odcinka CD, zatem:
|CE|=3/4|CD| |CE|=3/4 · a√(3)/2 |CE|=3√(3)a/8
Krok 2. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów CEF oraz CDB.
Spójrzmy na trójkąty CEF oraz CDB. Jeden i drugi trójkąt jest prostokątny, czyli wiemy już, że na pewno mają jedną wspólną miarę kątów. Jeden i drugi trójkąt mają też wspólny kąt ECF, zatem już dwa kąty w tych trójkątach są jednakowej miary. To z kolei oznacza, że i trzeci kąt w tych trójkątach musi mieć jednakową miarę. To prowadzi nas do wniosku, że zgodnie z zasadą kąt-kąt-kąt, trójkąt CEF jest podobny do trójkąta CDB.
Krok 3. Ułożenie równania i wyznaczenie długości odcinka CF.
Skoro trójkąty CEF oraz CDB są podobne, to możemy ułożyć następującą proporcję:
|CF|/|CD|=|CE|/|CB| |CF|/(a√(3)/2)=3√(3)a/8/a |CF|/(a√(3)/2)=3√(3)/8 |CF|=3√(3)/8 · a√(3)/2 |CF|=3√(3) · √(3) · a/(8 · 2) |CF|=9a/16=9/16 a
Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Długość a jest długością każdego z trzech boków naszego trójkąta, zatem także i boku BC. Możemy więc zapisać, że z obliczeń otrzymaliśmy równanie |CF|=9/16|BC|, czyli dokładnie takie jakie było w treści zadania. To kończy nasze dowodzenie.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.