Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a-2b)+2b² > 0
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKluczem do sukcesu jest rozbicie wartości 2b² na b²+b². Otrzymamy wtedy następującą sytuacje:
a(a-2b)+2b² > 0 a²-2ab+b²+b² > 0
Wyrażenie a²-2ab+b² możemy "zwinąć" korzystając ze wzorów skróconego mnożenia do postaci (a-b)², co sprawi że otrzymamy:
(a-b)²+b² > 0
Teraz przeanalizujmy co otrzymaliśmy. Wiemy, że a oraz b są różnymi liczbami, zatem a-b jest na pewno różne od zera. Jakiejkolwiek liczba różna od zera podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, stąd też na pewno wartość (a-b)² jest większa od zera. Analogicznie możemy stwierdzić, że wartość b² będzie większa od zera lub równa zero.
Suma (a-b)² oraz b² musi być więc większa od zera, bo do liczby dodatniej dodajemy liczbę większą lub równą zero i właśnie to należało udowodnić.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.