Dany jest kwadrat ABCD, w którym A=(5,-5/3). Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu y=4/3 x. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Narysujmy sobie szkic tej sytuacji, zaznaczając przy okazji miejsce przecięcia się przekątnych AC oraz BD:

Na szkicu nie musimy zaznaczać tego pomarańczowego kwadratu - służy on jedynie lepszemu wyobrażeniu tego co za chwilę będziemy liczyć.

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego a przekątnej AC.

Przekątne kwadratu przecinają się zawsze pod kątem prostym. To oznacza, że przekątne AC oraz BD są względem siebie prostopadłe. Aby dwie były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy -1. Z treści zadania wiemy, że współczynnik kierunkowy a prostej BD jest równy 4/3, zatem współczynnik a prostej AC będzie równy -3/4, bo -3/4 · 4/3=-1.

To z kolei oznacza, że równanie prostej AC możemy już zapisać jako y=-3/4 x+b. Do pełnego równania brakuje nam jeszcze współczynnika b.

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika b przekątnej AC.

Wiemy już, że prosta AC wyraża się równaniem y=-3/4 x+b. Brakujący współczynnik b wyznaczymy podstawiając do tego równania współrzędne jednego z punktów, który należy do tej prostej. Takim punktem jest punkt A=(5,-5/3), zatem:

y=-3/4 x+b -5/3=-3/4 · 5+b -5/3=-15/4+b -20/12=-45/12+b b=25/12

To oznacza, że nasza prosta AC wyraża się równaniem y=-3/4 x+25/12.

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych miejsca przecięcia się przekątnych.

Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że kiedy zbudujemy układ równań składający się z dwóch prostych, to rozwiązaniem tego układu będą współrzędne punktu ich przecięcia. Skoro tak, to wyznaczmy miejsce przecięcia się naszych przekątnych:

y=4/3 x y=-3/4 x+25/12

Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:

4/3 x=-3/4 x+25/12 / · 12 16x=-9x+25 25x=25 x=1

Znając wartość iksa, możemy bez problemu poznać igreka. W tym celu wystarczy do dowolnego równania z układu równań (np. pierwszego) podstawić wyznaczone x=1, zatem:

y=4/3 x y=4/3 · 1 y=4/3

To oznacza, że nasze przekątne przecinają się w punkcie S=(1;4/3).

Krok 5. Obliczenie długości odcinka AS i przekątnej AC.

Odcinek AS jest połową długości przekątnej naszego kwadratu. Znamy współrzędne punktu A oraz S, zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:

|AS|=√((x_S-x_A)²+(y_S-y_A)²) |AS|=√((1-5)²+(4/3-(-5/3))²) |AS|=√((-4)²+(-3)²) |AS|=√(16+9) |AS|=√(25) |AS|=5

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości, zatem odcinek AC będzie dwukrotnie większy od odcinka AS. Skoro tak, to:

|AC|=2 · 5 |AC|=10

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni kwadratu ABCD.

Znając długość przekątnej moglibyśmy oczywiście wyznaczyć długość boku kwadratu, a dopiero potem pole powierzchni, ale możemy też postąpić nieco sprytniej i skorzystać z innego wzoru na pole kwadratu (takiego samego jak pole rombu):

P=1/2 · e · f P=1/2 · 10 · 10 P=50