Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla n ≥ 1 , w którym a₅=22 oraz a₁₀=47 . Oblicz pierwszy wyraz a₁ i różnicę r tego ciągu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a₁=2, r=5
Krok 1. Rozpisanie wzorów na piąty i dziesiąty wyraz ciągu.
Ze wzoru a_n=a₁+(n-1)r możemy zapisać, że:
a₅=a₁+(5-1)r a₅=a₁+4r a₁₀=a₁+(10-1)r a₁₀=a₁+9r
Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań oraz wyznaczenie wartości różnicy ciągu.
Zgodnie z treścią zadania:
a₁+4r=22 a₁+9r=47
Ten układ równań możemy rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie po prostu zastosować tutaj odejmowanie stronami, dzięki czemu otrzymamy:
4r-9r=22-47 -5r=-25 r=5
Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Podstawiając wyznaczoną przed chwilą różnicę ciągu do wzoru na piąty wyraz ciągu, wyznaczymy wartość pierwszego wyrazu.
a₅=a₁+4r 22=a₁+4 · 5 22=a₁+20 a₁=2
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.