Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez 24 .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Krok 1. Zapisanie liczb naturalnych parzystych za pomocą wyrażeń algebraicznych.
Każdą liczbę naturalną możemy zapisać jako n.
Każdą liczbę naturalną parzystą możemy zapisać jako 2n.
W związku z tym trzema kolejnymi liczbami naturalnymi będą:
2n; 2n+2; 2n+4
Krok 2. Obliczenie sześcianu każdej z kolejnych liczb.
Skorzystamy tutaj (i to dwukrotnie) ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy liczb:
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
Zgodnie z treścią zadania każda liczba musi być podniesiona do potęgi trzeciej, zatem:
(2n)³=8n³ (2n+2)³=(2n)³+3 · (2n)² · 2+3 · 2n · 2²+2³= =8n³+24n²+24n+8 (2n+4)³=(2n)³+3 · (2n)² · 4+3 · 2n · 4²+4³= =8n³+48n²+96n+64
Krok 3. Zsumowanie trzech wyników i wyłączenie całości przed nawias.
Suma tych wszystkich trzech wyrażeń będzie więc równa:
8n³+8n³+24n²+24n+8+8n³+48n²+96n+64= =24n³+72n²+120n+72= =24(n³+3n²+5n+3)
Wyłączając przed nawias liczbę 24 udowodniliśmy, że suma tych trzech liczb jest podzielna przez 24.
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.