Punkty A , B i C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku wypukły kąt środkowy AOB ma miarę
Odpowiedzi do wyboru
- A.60°
- B.100°
- C.120°
- D.140°
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Krok 1. Obliczenie miar kątów ACO oraz BCO.
Spójrzmy najpierw na trójkąt AOC. Na pewno jest to trójkąt równoramienny, którego ramiona AO oraz CO mają długość równą długości promienia okręgu. To oznacza, że podstawą tego trójkąta jest bok AC. Wiemy z własności trójkątów równoramiennych, że kąty przy podstawie mają tą samą miarę. W związku z tym:
|∢ACO|=|∢OAC|=40°
Analogicznie będzie wyglądać sytuacja w tym węższym trójkącie BOC. Tutaj także jest to trójkąt równoramienny i także jego kąty przy podstawie mają równą długość, zatem:
|∢BCO|=|∢OBC|=20°
Krok 2. Obliczenie miary kąta ACB.
Miara kąta ACB jest sumą miar dwóch kątów, które wyznaczyliśmy sobie przed chwilą:
|∢ACB|=|∢ACO|+|∢BCO| |∢ACB|=40°+20° |∢ACB|=60°
Krok 3. Wyznaczenie miary kąta środkowego AOB.
Z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że jeśli te dwa kąty są opisane na tym samym łuku (a tak jest w naszym przypadku), to miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego. Więc:
|∢AOB|=60° · 2 |∢AOB|=120°
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.