Kąt α jest ostry i spełniona jest równość 3tgα=2 . Wtedy wartość wyrażenia sin α+cos α jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.1
- B.5√(13)/26
- C.5√(13)/13
- D.√(5)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2014-15.png]
Krok 2. Wyznaczenie wzoru na sinα.
Pamiętając, że tgα=sinα/cosα, możemy dokonać przekształcenia i spróbować wyznaczyć wzór na sinusa, który później podstawimy do jedynki trygonometrycznej.
3tgα=2 tgα=2/3 sinα/cosα=2/3 / · cosα sinα=2/3 cosα
Krok 3. Wyznaczenie dokładnej wartości cosα.
Korzystając z jedynki trygonometrycznej i podstawiając równanie wyznaczone w pierwszym kroku możemy obliczyć dokładną wartość cosinusa:
sin²α+cos²α=1 (2/3 cosα)²+cos²α=1 4/9 cos²α+cos²α=1 / · 9 4cos²α+9cos²α=9 13cos²α=9 cos²α=9/13 cosα=√(9/13) cosα=-√(9/13) cosα=3/√(13) cosα=-3/√(13)
Z racji tego iż kąt α jest ostry, to ujemne rozwiązanie odrzucamy. Pozostaje nam więc cosα=3/√(13). W tym zapisie możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem:
cosα=3/√(13)=3 · √(13)/(√(13) · √(13))=3√(13)/13
Krok 4. Obliczenie wartości sinα.
cancel sinα=2/3 cosα sinα=2/3 · 3√(13)/13 sinα=2√(13)/13
Krok 5. Obliczenie wartości wyrażenia sinα+cosα.
Znając wartości sinusa i cosinusa bez problemu obliczymy poszukiwaną wartość naszego wyrażenia:
sinα+cosα=2√(13)/13+3√(13)/13=5√(13)/13
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.