Kąt α jest ostry oraz 4/(sin² α)+4/(cos² α)=25 . Oblicz wartość wyrażenia sinα · cosα .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 2/5
Krok 1. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika i dodanie do siebie tych dwóch wyrażeń.
Aby dodać do siebie te dwa ułamki musimy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Zrobimy to w następujący sposób:
4/sin²α+4/cos²α=25 4 · cos²α/(sin²α · cos²α)+4 · sin²α/(cos²α · sin²α)=25 (4 · cos²α+4 · sin²α)/(cos²α · sin²α)=25
Krok 2. Wyznaczenie wartości wyrażenia sinα · cosα.
Spróbujmy z licznika wyłączyć czwórkę przed nawias, dzięki czemu w nawiasie otrzymamy jedynkę trygonometryczną. W mianowniku za to warto wyłączyć przed nawias potęgowanie, co sprawi że otrzymamy w nawiasie dokładnie to wyrażenie, którego wartości poszukujemy. Zatem:
4 · (cos²α+sin²α)/((cosα · sinα)²)=25 4 · 1/((cosα · sinα)²)=25 4=25 · (cosα · sinα)² (cosα · sinα)²=4/25 cosα · sinα=√(4/25) cosα · sinα=-√(4/25) cosα · sinα=2/5 cosα · sinα=-2/5
Z racji tego iż kąt α jest ostry, to ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych sinus i cosinus przyjmują wartości dodatnie. Zatem jedynym prawidłowym rozwiązaniem będzie cosα · sinα=2/5.
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.