Dany jest trójkąt ABC , w którym |AC|>|BC| . Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i E , że zachodzi równość |CD|=|CE| . Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że |∢BAC|=|∢ABC|-2 · |∢AFD| .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego i wprowadzenie oznaczeń.
Spójrzmy na trójkąt DEC. Jest on na pewno równoramienny, co wynika bezpośrednio z treści zadania. Jeśli więc oznaczymy sobie |∢CDE|=α, to także |∢DEC|=α
Z własności kątów wierzchołkowych wynika, że w takim razie także |∢BEF|=α.
Dodatkowo oznaczmy sobie miarę kąta ∢EBF=β.
Krok 2. Wyznaczenie wartości kątów ACB, ABC, BAC oraz AFD.
Korzystając z wiedzy, że w każdym z trójkątów suma miar jest równa 180° możemy zapisać, że:
|∢ACB|=180°-2α |∢ABC|=180°-β (kąty przyległe) |∢BAC|=180°-|∢ACB|-|∢ABC|= =180°-(180°-2α)-(180°-β)= =180°-180°+2α-180°+β=-180°+2α+β |∢AFD|=180°-α-β
Krok 3. Udowodnienie zależności podanej w treści zadania.
W drugim kroku obliczyliśmy sobie wartości każdego z potrzebnych kątów, zatem podstawmy te dane do równania z treści zadania i sprawdźmy, czy jest ono rzeczywiście prawdziwe.
|∢BAC|=|∢ABC|-2 · |∢AFD| -180°+2α+β=180°-β-2 · (180°-α-β) -180°+2α+β=180°-β-(360°-2α-2β) -180°+2α+β=180°-β-360°+2α+2β -180°+2α+β=-180°+2α+β L=P
Równość jest prawdziwa, co kończy nasz dowód.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.