Dany jest trzywyrazowy ciąg (x + 2, 4x + 2, x + 11). Oblicz wszystkie wartości x, dla których ten ciąg jest geometryczny.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: -6/5, 1
Krok 1. Wykorzystanie własności dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca zależność:
a₂²=a₁ · a₃
Podstawiając wyrazy z treści zadania otrzymamy następujące równanie:
(4x+2)²=(x+2)(x+11)
Teraz nasze równanie musimy uprościć, wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy. Po lewej stronie równania będziemy mogli skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)=a²+2ab+b², zatem:
16x²+16x+4=x²+11x+2x+22 16x²+16x+4=x²+13x+22 15x²+3x-18=0
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam klasyczne równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej, które teraz musimy rozwiązać, zatem:
Współczynniki: a=15, b=3, c=-18
Δ=b²-4ac=3²-4 · 15 · (-18)=9-(-1080)=9+1080=1089 √(Δ)=√(1089)=33
x₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-3-33)/(2 · 15)=-36/30=-6/5 x₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-3+33)/(2 · 15)=30/30=1
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wyszły nam dwie różne wartości x. Nie mamy powodu, by którąkolwiek z nich odrzucić (moglibyśmy odrzucać gdyby np. w treści zadania była informacja, że ciąg jest rosnący). W związku z tym rozwiązaniem tego zadania jest x=-6/5 oraz x=1.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.