Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym podstawa AB ma długość 12, a każde z ramion AC i BC ma długość równą 10. Punkt D jest środkiem ramienia BC (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta α, jaki środkowa AD tworzy z ramieniem AC trójkąta ABC.

Krok 1. Obliczenie wysokości trójkąta ABC.

Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że ich wysokość przecina podstawę w połowie jej długości, zatem mamy taką oto sytuację:

Powstał nam trójkąt prostokątny, w którym jedyną niewiadomą jest wysokość naszego trójkąta ABC, zatem:

6²+H²=10² 36+H²=100 H²=64 H=8 H=-8

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam H=8.

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta ABC.

Skoro podstawa trójkąta ma długość a=12, a wysokość to H=8, to pole tego trójkąta jest równe:

P=1/2 · 12 · 8 P=6 · 8 P=48

Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta, która pada na ramię trójkąta.

Spróbujmy teraz obliczyć długość wysokości trójkąta, która pada nie na podstawę, tylko na ramię. Pole powierzchni jest już nam znane, wiemy że P=48. W tym przypadku podstawa będzie miała długość ramienia, czyli a=10, zatem:

P=1/2 · a · h 48=1/2 · 10 · h 48=5 · h h=9,6

Krok 4. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Mamy w tym momencie taką oto sytuację:

Krok 5. Obliczenie długości odcinka EB.

Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

|EB|²+9,6²=12² |EB|²+92,16=144 |EB|²=51,84 |EB|=7,2 |EB|=-7,2

Długość odcinka nie może być ujemna, więc zostaje nam |EB|=7,2.

Krok 6. Obliczenie długości odcinka ED.

Długość odcinka ED jest różnicą między długością odcinka EB oraz DB, zatem:

|ED|=7,2-5 |ED|=2,2

Krok 7. Obliczenie długości odcinka AD.

Ponownie skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa, tym razem w trójkącie AED:

9,6²+2,2²=|AD|² 92,16+4,84=|AD|² |AD|²=97 |AD|=√(97) |AD|=-√(97)

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam |AD|=√(97).

Krok 8. Obliczenie wartości sinα.

Spoglądamy teraz na trójkąt ADC. Jego pole powierzchni jest równe:

P=1/2 · 5 · 9,6 P=24

Wiedząc jakie jest pole tego trójkąta oraz znając długości odcinków AC oraz AD, możemy teraz obliczyć poszukiwaną wartość sinα. W tym celu musimy skorzystać z tak zwanego wzoru na pole powierzchni trójkąta "z sinusem":

P=1/2 ab · sinα 24=1/2 · 10 · √(97) · sinα 24=5√(97) · sinα sinα=24/(5√(97))=24 · √(97)/(5√(97) · √(97))=24√(97)/(5 · 97)=24√(97)/485