Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a + b) + b² > 3ab
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Wymnażając nawias i przenosząc wszystko na lewą stronę, otrzymamy:
a²+ab+b² > 3ab a²-2ab+b² > 0
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że wartość a²-2ab+b² możemy zwinąć do postaci (a-b)², zatem zostanie nam nierówność:
(a-b)² > 0
Krok 1. Zakończenie dowodzenia.
Skoro a oraz b są różnymi liczbami, to różnica a-b jest różna od zera. Wiemy zatem, że w nawiasie znalazła nam się liczba różna od zera, którą podnosimy teraz do kwadratu. Jakakolwiek liczba (różna od zera) podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, co kończy nasze dowodzenie.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.