Prosta o równaniu y = -2x + 7 jest symetralną odcinka PQ, gdzie P = (4,5). Oblicz współrzędne punktu Q.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Q=(-4/5, 13/5)
Krok 1. Wyznaczenie wartości współczynnika a prostej PQ.
Symetralna jest prostą prostopadłą, która przechodzi przez środek odcinka. Z własności prostych prostopadłych wiemy, że aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy -1. Skoro więc nasza pierwsza prosta ma współczynnik a=-2, to prosta przechodząca przez odcinek PQ (możemy ją nawet roboczo nazwać prostą PQ) będzie mieć współczynnik a=1/2, bo -2 · 1/2=-1.
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej PQ.
Wiemy już, że współczynnik a prostej PQ jest równy a=1/2, czyli że prosta PQ wyraża się równaniem y=1/2 x+b. Wiemy też, że prosta ta przechodzi przez punkt P=(4;5), zatem podstawiając x=4 oraz y=5 poznamy brakujący współczynnik b:
5=1/2 · 4+b 5=2+b b=3
To oznacza, że prosta PQ wyraża się równaniem y=1/2 x+3.
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia się prostych.
Skoro znamy równanie prostej PQ i znamy równanie symetralnej, to możemy obliczyć miejsce przecięcia się tych prostych, czyli współrzędne środka odcinka PQ. Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań dwóch prostych są współrzędne przecięcia się tych prostych, zatem:
y=-2x+7 y=1/2 x+3
Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
-2x+7=1/2 x+3 2 1/2 x=4 x=1,6
Podstawiając wyznaczoną przed chwilą wartość x=1,6 do dowolnego z równań z układu (np. pierwszego) otrzymamy:
y=-2 · (1,6)+7 y=3,8
To oznacza, że środek odcinka PQ znajduje się w punkcie S=(1,6; 3,8).
Krok 4. Obliczenie współrzędnych punktu Q.
Znamy współrzędne punktu P oraz środka S, stąd też możemy bez przeszkód wyznaczyć współrzędne punktu Q. Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową punktu Q:
x_S=(x_P+x_Q)/2 1,6=(4+x_Q)/2 3,2=4+x_Q x_Q=-0,8 y_S=(y_P+y_Q)/2 3,8=(5+y_Q)/2 7,6=5+y_Q y_Q=2,6
To oznacza, że Q=(-0,8; 2,6) lub jak kto woli Q=(-4/5;13/5).
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.