Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 6, a wysokość CD dzieli go na dwa takie trójkąty ADC i CDB, że pole trójkąta ADC jest 4 razy większe od pola trójkąta CDB (zobacz rysunek). Przyprostokątna BC trójkąta prostokątnego ABC jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.1,5
- B.2
- C.2,5
- D.3
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa trójkątów.
Z własności podobieństwa wynika, że jeżeli jakiś trójkąt jest podobny do drugiego w skali podobieństwa równej k, to pole tego trójkąta będzie k² razy większe. W naszym przypadku pole trójkąta ADC jest 4 razy większe od trójkąta CDB, zatem:
k²=4 k=2 k=-2
Skala podobieństwa nie może być ujemna, zatem zostaje nam k=2.
Krok 2. Obliczenie długości przyprostokątnej BC.
Wiemy już, że skala podobieństwa jest równa k=2, czyli że wszystkie boki trójkąta ADC są dwa razy większe od analogicznych boków trójkąta CDB.
Bok BC jest przeciwprostokątną trójkąta CDB, tak samo jak bok CA jest przeciwprostokątną trójkąta ADC. Skoro tak, to bok BC będzie dwa razy krótszy od boku CA, czyli |BC|=3.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.