Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa 12. Oblicz objętość tego stożka.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=72π
Krok 1. Zapisanie zależności między polem powierzchni bocznej i polem podstawy.
Ze wzorów na pole powierzchni bocznej i pole podstawy wiemy, że:
P_b=πrl P_p=πr²
Z treści zadania wynika, że pole powierzchni bocznej jest trzy razy większe od pola podstawy, zatem:
P_b=3 · P_p πrl=3 · (πr²) πrl=3πr² rl=3r² l=3r
Otrzymaliśmy informację, że l=3r, czyli że tworząca stożka jest trzy razy dłuższa od promienia podstawy.
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro l=3r, to nasz stożek będzie wyglądał następująco:
Utworzył nam się trójkąt prostokątny, w którym jedyną niewiadomą jest r i to właśnie z tego trójkąta obliczymy teraz długość promienia stożka.
Krok 3. Obliczenie długości promienia stożka.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
r²+12²=(3r)² r²+144=9r² 8r²=144 r²=18 r=√(18) r=-√(18)
Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam r=√(18). Moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka otrzymując r=3√(2), ale tutaj nie jest to potrzebne, bo i tak zaraz będziemy długość tego promienia podnosić do kwadratu.
Krok 4. Obliczenie objętości stożka.
Skoro H=12 oraz r=√(18), to objętość stożka będzie równa:
V=1/3 · P_p · H V=1/3 · πr² · H V=1/3 · π · (√(18))² · 12 V=1/3 · π · 18 · 12 V=72π
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.