Dany jest nieskończony ciąg okręgów (o_n) o równaniach x² + y² = 2^(11 - n), n ≥ 1. Niech P_k będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o_(2k-1) i wewnętrznym okręgiem o_(2k). Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni P_k, gdzie k ≥ 1.

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_(n+1) = a_n + n - 6 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Trzeci wyraz tego...

Granice lim_(n → ∞) (an²+bn+4)/(n+1) i lim_(n → ∞) (n+1)/(an²+bn+4) są równe. Stąd wynika, że

Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem a_n = (n²-10n)(2-3n)/(2n³+n²+3) dla n ≥ 1. Wtedy

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = (3n² + 7n - 5)/(11 - 5n + 5n²) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Granica tego...

Ciąg (a, b, c) jest geometryczny. Ciąg (3a + 3, 2b, c - 12) jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa...

Nieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony w następujący sposób: a₁ = 3/5 oraz...

Niech L = log_(√(2)) 2 · log₂ √(3) · log_(√(3)) 4. Wtedy

Okrąg o równaniu (x - 3)² + (y + 7)² = 625 jest styczny do okręgu o środku S = (12, 5) i promieniu r. Wynika stąd, że

Liczba √((1 - √(2))²) + √((2 - √(2))²) jest równa

Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite.

Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f(x) = x²/(x - 1), określonej dla każdej liczby rzeczywistej...

W trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC. Wykaż, że prawdziwa jest równość...

Udowodnij, że dla dowolnego kąta α ∈ (0, π/2) prawdziwa jest nierówność...

Wykaż, że równanie x⁸ + x² = 2(x⁴ + x - 1) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste x = 1.

Stała różnica to ciąg arytmetyczny, stały procent albo stała wielokrotność to ciąg geometryczny. Jak przetłumaczyć raty, rzędy krzeseł i wydatki na pierwszy wyraz, różnicę, iloraz i liczbę wyrazów, kiedy liczyć wyraz, a kiedy sumę, oraz sześć przykładów rozwiązanych krok po kroku.

Liczba jest wyrazem ciągu, gdy równanie a_n = x ma rozwiązanie naturalne n ≥ 1. Wyrazy ujemne i dodatnie liczysz przez nierówność i wypisanie liczb naturalnych z przedziału. Schemat, pułapki i 6 zadań rozwiązanych krok po kroku.

Granica ciągu to liczba, do której zbliżają się wyrazy ciągu, gdy n rośnie do nieskończoności. Metoda dzielenia przez najwyższą potęgę, reguła trzech przypadków, pierwiastki i wyrażenie sprzężone, granica z parametrem. Sześć rozwiązanych zadań z arkuszy matury rozszerzonej, pułapki i FAQ.

Warunek 2b = a + c dla ciągu arytmetycznego i b do kwadratu równe ac dla geometrycznego: wyprowadzenia, pięć zadań maturalnych krok po kroku i pułapka z drugim rozwiązaniem.