Ciąg (a,b,c) jest geometryczny, a ciąg (a,c/6,b-4) jest arytmetyczny. Ponadto a+b+c=52. Wyznacz a,b,c. Znajdź wszystkie rozwiązania.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a=4, b=12, c=36 lub a=64,b=-48,c=36
Krok 1. Wykorzystanie warunku ciągu arytmetycznego.
Ciąg (a,c/6,b-4) jest arytmetyczny, więc:
c/6-a=(b-4)-c/6
2c/6=a+b-4 ⇒ c/3=a+b-4 ⇒ c=3(a+b-4)
Krok 2. Wyznaczenie c z sumy.
a+b+c=52 ⇒ a+b+3(a+b-4)=52
4(a+b)-12=52 ⇒ a+b=16, c=36
Krok 3. Wykorzystanie warunku ciągu geometrycznego.
Ciąg (a,b,c) jest geometryczny, więc b²=ac=36a, zatem a=b²/36.
Podstawiając do a+b=16:
b²/36+b=16 ⇒ b²+36b-576=0
Δ=1296+2304=3600, √(Δ)=60
b=(-36+60)/2=12 b=(-36-60)/2=-48
Dla b=12: a=4, c=36. Dla b=-48: a=64, c=36.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.