Dany jest stożek, którego powierzchnia boczna jest 2 razy większa od pola jego podstawy. Kąt rozwarcia tego stożka oznaczmy literką α. Wykaż, że suma miejsc zerowych funkcji f(x)=(x - tg² α)(x-2) jest liczbą pierwszą.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Wyznaczenie kąta α.
Powierzchnia boczna stożka: P_b=πr l. Pole podstawy: P_p=πr².
Z warunku zadania: P_b=2P_p:
πr l=2πr² ⇒ l=2r
Kąt rozwarcia stożka (oznaczony α) spełnia:
cos α/2=r/l=r/(2r)=1/2
Zatem α/2=60°, czyli α=120°.
Krok 2. Obliczenie sumy miejsc zerowych.
Miejsca zerowe funkcji f(x)=(x-cosα)(x-sinα) to x₁=cos 120°=-1/2 i x₂=sin 120°=√(3)/2.
Suma miejsc zerowych:
x₁+x₂=-1/2+√(3)/2=(√(3)-1)/2
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.